最新精编高中人教版A版高考数学理科一轮复习37 正弦定理和余弦定理公开课优质课教学设计Word下载.docx
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(4)在△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanA·
tanB·
tanC(A,B,C≠).
[自测练习]
1.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a=c=+,且A=75°
,则b=( )
A.2B.4+2
C.4-2D.-
解析:
在△ABC中,易知∠B=30°
,
由余弦定理b2=a2+c2-2accos30°
=4.∴b=2.
答案:
A
2.在△ABC中,若∠A=60°
,∠B=45°
,BC=3,则AC=( )
A.4B.2
C.D.
在△ABC中,根据正弦定理,得=,
∴AC===2.
B
3.△ABC中,B=120°
,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为________.
由余弦定理知AC2=AB2+BC2-2AB·
BCcos120°
即49=25+BC2+5BC,解得BC=3.
故S△ABC=AB·
BCsin120°
=×
5×
3×
=.
考点一 利用正弦、余弦定理解三角形|
1.(2015·
高考广东卷)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=且b<
c,则b=( )
A.3 B.2
C.2D.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,即4=b2+12-6b⇒b2-6b+8=0⇒(b-2)(b-4)=0,由b<
c,得b=2.
C
2.(2015·
高考安徽卷)在△ABC中,AB=,∠A=75°
,则AC=________.
因为∠A=75°
,所以∠C=60°
,由正弦定理可得=,解得AC=2.
2
3.(2015·
高考福建卷)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于________.
因为△ABC的面积S△ABC=AB·
ACsinA,所以10=×
8×
sinA,解得sinA=,因为角A为锐角,所以cosA=.根据余弦定理,得BC2=52+82-2×
cosA=52+82-2×
=49,所以BC=7.
7
正、余弦定理的应用原则
(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用.
(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.
考点二 利用正、余弦定理判断三角形形状|
(2015·
沈阳模拟)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小;
(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.
[解]
(1)由已知,根据正弦定理得
2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.
由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,
∴bc=-2bccosA,cosA=-.
又0<
A<
π,∴A=π.
(2)由
(1)知sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,
∴sin2A=(sinB+sinC)2-sinBsinC.
又sinB+sinC=1,且sinA=,
∴sinBsinC=,因此sinB=sinC=.
又B、C∈,故B=C.
所以△ABC是等腰的钝角三角形.
判定三角形形状的两条途径
(1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系.
(2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁.
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2b-c)cosA-acosC=0.
(1)求角A的大小;
(2)若a=,S△ABC=,试判断△ABC的形状,并说明理由.
解:
(1)法一:
由(2b-c)cosA-acosC=0及正弦定理,得(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0,
∴2sinBcosA-sin(A+C)=0,
sinB(2cosA-1)=0.∵0<
B<
π,∴sinB≠0,
∴cosA=.∵0<
π,∴A=.
法二:
由(2b-c)cosA-acosC=0,
及余弦定理,得(2b-c)·
-=0,整理,得b2+c2-a2=bc,
∴cosA==,∵0<
(2)△ABC为等边三角形.
∵S△ABC=bcsinA=,
即bcsin=,∴bc=3,①
∵a2=b2+c2-2bccosA,a=,A=,
∴b2+c2=6,②
由①②得b=c=,∴△ABC为等边三角形.考点三 三角形的面积问题|
高考全国卷Ⅱ)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
(1)求;
(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.
[解]
(1)S△ABD=AB·
ADsin∠BAD,
S△ADC=AC·
ADsin∠CAD.
因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.
由正弦定理可得==.
(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.
在△ABD和△ADC中,由余弦定理知
AB2=AD2+BD2-2AD·
BDcos∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD·
DCcos∠ADC.
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由
(1)知AB=2AC,所以AC=1.
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
2.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,且c=2,C=.
(1)若△ABC的面积等于,求a,b;
(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求A的值.
(1)∵c=2,C=,
∴由余弦定理得4=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab,∵△ABC的面积等于,
∴absinC=,∴ab=4,
联立,解得a=2,b=2.
(2)∵sinC+sin(B-A)=2sin2A,
∴sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,
∴sinBcosA=2sinAcosA,
①当cosA=0时,A=;
②当cosA≠0时,sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,
联立,解得a=,b=,
∴b2=a2+c2,∵C=,∴A=.
综上所述,A=或A=.
7.三角变换不等价致误
【典例】 在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)·
sin(A+B),试判断△ABC的形状.
[解] ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]
=a2[sin(A+B)-sin(A-B)],
∴2sinAcosB·
b2=2cosAsinB·
a2,
即a2cosAsinB=b2sinAcosB.
法一:
由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB,
∴sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB,
又sinA·
sinB≠0,
∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B.
在△ABC中,0<
2A<
2π,0<
2B<
2π,
∴2A=2B或2A=π-2B,∴A=B或A+B=.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
由正弦定理、余弦定理得:
a2b=b2a,
∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),
∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a2-b2=0或a2+b2-c2=0.即a=b或a2+b2=c2.
[易误点评]
(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等,忽略两角互补情形.
(2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子,导致漏解.
(3)结论表述不规范.
[防范措施]
(1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变为只含边或只含角的式子,然后进行判断.
(2)在三角变换过程中,一般不要两边约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解;
在利用三角函数关系推证角的关系时,要注意利用诱导公式,不要漏掉角之间关系的某种情况.
[跟踪练习] 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tanA+tanB=.
(1)求角B的大小;
(2)已知+=3,求sinAsinC的值.
(1)tanA+tanB=+
=
==,
∵tanA+tanB=,∴=,
∴cosB=,∵0<
π,∴B=.
(2)+==,
∵+=3,∴=3,
即=3,∴=2,
而===,
∴sinAsinC=.
A组 考点能力演练
1.(2016·
兰州一模)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2asinB,则A=( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
因为在锐角△ABC中,b=2asinB,由正弦定理得,sinB=2sinAsinB,所以sinA=,又0<
,所以A=30°
,故选A.
2.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若S+a2=(b+c)2,则cosA等于( )
A.B.-
C.D.-
S+a2=(b+c)2⇒a2=b2+c2-2bc,由余弦定理得sinA-1=cosA,结合sin2A+cos2A=1,可得cosA=-.
D
3.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,则△ABC的面积为( )
A.B.1
C.D.2
∵a2=b2+c2-bc,∴cosA=,∴A=,又bc=4,∴△ABC的面积为bcsinA=,故选C.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°
,cosA=,则b等
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