届高三数学问题31应用三角公式化简求值的技巧问题含答案.docx
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届高三数学问题31应用三角公式化简求值的技巧问题含答案
2017届高三数学跨越一本线精品
问题一:
应用三角公式化简求值的技巧问题
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解决.
一、三角变换,角为先锋
三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.
【例1】【2017湖北省荆州高三上学期第一次质检】若
则
()
A.
B.
C.
D.
【分析】根据
可考虑利用诱导公式及二倍角公式求值
【点评】
(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)常见的配角技巧:
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=
-
α=
+
=(α+
)-(
+β)等.
(3)常见的互余和互补的角①常见的互余的角:
-α与
+α;
+α与
-α;
+α与
-α等.②常见的互补的角:
+θ与
-θ;
+θ与
-θ等.
【小试牛刀】若0<α<
-
<β<0,cos
=
cos
=
则cos
等于( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】cos
=cos
=cos
cos
+sin
sin
∵0<α<
∴
<
+α<
∴sin
=
.
又-
<β<0,则
<
-
<
∴sin
=
.
故cos
=
×
+
×
=
.
【答案】C
二、函数变换,乃是重点
三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数)之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.
【例2】【2017天津六校高三上学期期中联考】若
则
.
【分析】先统一函数名称,化弦为切,再利用两角和的正切公式求值.
【点评】
(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用
=tanα可以实现角α的弦切互化.
(2)形如asinα+bcosα和asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子分别称为关于sinα,cosα的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解.如果分母为1,可考虑将1写成sin2α+cos2α.(3)已知tanα=m的条件下,求解关于sinα,cosα的齐次式问题,必须注意以下几点:
①一定是关于sinα,cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式.②因为cosα≠0,所以可以用cosnα(n∈N*)除之,这样可以将被求式化为关于tanα的表示式,可整体代入tanα=m的值,从而完成被求式的求值运算.③注意1=sin2α+cos2α的运用.
【小试牛刀】设
且
则()
A.
B.
C.
D.
【解析】由
又
故
即
.
【答案】C
三、常数化角,曲径通幽
三角公式中有不少常数,如1、
、
等,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的关系进行转换,往往可以起到意想不到的效果.
【例3】【2017四川省资阳市高三上学期第一次诊断考试】函数
的图象的一条对称轴方程为()
A.
B.
C.
D.
【分析】先用辅助角公式对所给函数进行变换:
=
=
.
【答案】B
【点评】常数的变换在辅助角公式中最常见,其他地方的常数变换相对更隐蔽,要细心观察表达式的特征,从中寻找蛛丝马迹.
【小试牛刀】【2016届山东师大附中高三上学期二模】若
且
()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为,
所以
即
所以
四、降幂化一,热点不断
三角公式中,一次关系式较多,特别是同角关系式,以及化一公式等等,因此在观察函数关系式时,注意其次数的特征,将高次化为一次,也是解决问题的重要途径.
【例4】【2016届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】已知函数
(1)求函数
的最小正周期和最大值;
(2)求函数
单调递增区间
【分析】三角函数问题,一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数,然后利用正弦函数(或余弦函数)的性质得出结论.
【解析】
(1)
函数
的最小正周期为
函数
的最大值为
(2)由
得
函数
的单调递增区间为
【点评】在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时,常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法,达到由不统一转化到统一,消除差异的目的.总之,三角恒等变换说到底就是“四变”,即变角、变名、变式、变幂.通过对角的分拆,达到使角相同;通过转换函数,达到同名(最好使式中只含一个函数名);通过对式子变形,达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化);通过幂的升降,达到幂的统一.
∈R、k∈N等.
【小试牛刀】已知函数f(x)=2
cos2x+sin2x-
+1(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)若x∈,求f(x)的值域.
(3)∵x∈,
∴2x+
∈.
∴sin(2x+
)∈.
∴f(x)∈.
五、和差倍分,注意结构
三角变换中,函数表达式结构上的变换也要充分注意,结构式的差异往往隐藏着对条件和结论的联系.
【例5】已知
.
(1)求
的值;
(2)求
的值.
【分析】先化简表达式,利用商数关系得到
再利用倍角公式展开
将
代入到化简的式子中计算即可;第二问,利用第一问的结论,将所求表达式化简,利用倍角公式、两角和的余弦公式,化简表达式,再利用齐次式化成关于
的式子,将第一问的结论代入得到所求式子的值.
【解析】
(1)∵
则
∴
∴
(2)原式
【点评】本题需要从多角度分析,一是角的倍分关系,二是函数的同角变换,最后再利用和差角、齐次式等思想方法,方能正确求解.
【小试牛刀】【2017江西省抚州市七校2高三上学期联考】若
则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
六、公式变用,柳暗花明
三角函数有众多的公式,我们不仅要会使用公式,还要会使用其变形的等价形式.如cosα=
tanα±tanβ=tan(α+β)(1
tanαtanβ)等.
【例7】
的值为()
A.
B.
C.
D.
【分析】本题是非特殊角求值问题,首先应从10°+50°=60°入手,然后注意表达式特征,其中的tan10°+tan50°和tan10°tan50°在正切的和角公式中也有显现,故考虑正切和角公式的变形.
【解析】由
变形
故
.
【答案】B.
【点评】三角公式是恒等式(当等式两边都有意义时),所以,我们不仅要记住公式的原型,还要会逆用公式,或者变形使用,这需要考生对公式各部分的结构特征都要十分熟悉,才能对公式的变形使用驾轻就熟.
总体来说,在三角函数的变换中,各种变换都是穿插进行的,许多时候需要多方位思考,不能拘泥于某一种思维方式,这样才有利于打开思维的空间,找到更加合适的解题方法
【小试牛刀】【2017江西九江月考】
的值是()
A.1B.
C.2D.
【答案】C
【解析】
=
=
故选C.
迁移运用
1.【2017河北唐山高三年级期末】已知
则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为
所以
=
故选D.
2.设α、β都是锐角,且cosα=
sin(α+β)=
则cosβ等于( )
A.
B.
C.
或
D.
或
【答案】A
【解析】依题意得sinα=
=
cos(α+β)=±
=±
.又α,β均为锐角,所以0<α<α+β<π,cosα>cos(α+β).因为
>
>-
所以cos(α+β)=-
.于是cosβ=cos
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-
×
+
×
=
.
3.【2017山东省枣庄高三上学期期末】已知
则
的值是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
又
所以
所以
=
故选C.
4.【2016届河北省正定中学高三上学期期中】已知
则
的值是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
5.【2016届福建省师大附中高三上学期期中】若
则
的值为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为
所以
故选C.
6.cos
·cos
·cos
等于( )
A.-
B.-
C.
D.
【答案】A
【解析】原式=cos
·cos
π·cos(-3π+
π)=
=
=
=-
.
7.已知
那么
等于()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
8.已知
则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
9.4cos50°-tan40°=( )
A.
B.
C.
D.2
-1
【答案】C
【解析】4cos50°-tan40°=4cos50°-
=
-
=
=
=
=
=
=
=
10.【2017河南省天一大联考】已知
则
.
【答案】
【解析】因为
所以
故答案为
.
11.【2017山东潍坊高三上学期期中联考】已知
则
.
【答案】
12.【2017山东省枣庄高三上学期期末】函数
的减区间是.
【答案】
【解析】
由
得
所以函数
的减区间是
.
13.【2017黑龙江省牡丹江市一中高三上学期期中】已知
则
.
【答案】
【解析】
.
14.【2017山西省孝义高三上学期二轮模考】已知
求下列各式的值.
(1)
;
(2)
.
【答案】
(1)
;
(2)
.
【解析】
(1)∵
∴
即
则原式
.
(2)∵
即
∴原式
.
15.【2017河南省天一大联考】已知函数
.
(1)求函数
的最小正周期与单调递增区间;
(2)若
时,函数
的最大值为0,求实数
的值.
【答案】
(1)
;
(2)
.
【解析】
(1)
则函数
的最小正周期
根据
得
所以函数
的单调递增区间为
.
(2)因为
所以
则当
时,函数取得最大值0,
即
解得
.
考点:
1、三角函数值的周期性及单调性;2、三角函数在闭区间上的最值.
16.【2017四川省资阳高三上学期第一次诊断考试】已
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