届高三数学问题31应用三角公式化简求值的技巧问题含答案.docx

届高三数学问题31应用三角公式化简求值的技巧问题含答案.docx

《届高三数学问题31应用三角公式化简求值的技巧问题含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高三数学问题31应用三角公式化简求值的技巧问题含答案.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

届高三数学问题31应用三角公式化简求值的技巧问题含答案

2017届高三数学跨越一本线精品

问题一：

应用三角公式化简求值的技巧问题

三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解决.

一、三角变换,角为先锋

三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.

【例1】【2017湖北省荆州高三上学期第一次质检】若

则

（）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据

可考虑利用诱导公式及二倍角公式求值

【点评】

（1）解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

（2）常见的配角技巧：

2α＝（α＋β）＋（α－β）,α＝（α＋β）－β,β＝

－

α＝

＋

＝（α＋

）－（

＋β）等．

（3）常见的互余和互补的角①常见的互余的角：

－α与

＋α；

＋α与

－α；

＋α与

－α等．②常见的互补的角：

＋θ与

－θ；

＋θ与

－θ等．

【小试牛刀】若0＜α＜

－

＜β＜0,cos

＝

cos

＝

则cos

等于（　　）

A.

B．－

C.

D．－

【解析】cos

＝cos

＝cos

cos

＋sin

sin

∵0＜α＜

∴

＜

＋α＜

∴sin

＝

.

又－

＜β＜0,则

＜

－

＜

∴sin

＝

.

故cos

＝

×

＋

×

＝

.

【答案】C

二、函数变换,乃是重点

三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数（当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数）之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.

【例2】【2017天津六校高三上学期期中联考】若

则

．

【分析】先统一函数名称,化弦为切,再利用两角和的正切公式求值.

【点评】

（1）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用

＝tanα可以实现角α的弦切互化．

（2）形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα,cosα的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切（分子分母同除以cosα或cos2α）求解．如果分母为1,可考虑将1写成sin2α＋cos2α.（3）已知tanα＝m的条件下,求解关于sinα,cosα的齐次式问题,必须注意以下几点：

①一定是关于sinα,cosα的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式．②因为cosα≠0,所以可以用cosnα（n∈N*）除之,这样可以将被求式化为关于tanα的表示式,可整体代入tanα＝m的值,从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin2α＋cos2α的运用．

【小试牛刀】设

且

则（）

A.

B.

C.

D.

【解析】由

又

故

即

.

【答案】C

三、常数化角,曲径通幽

三角公式中有不少常数,如1、

、

等,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的关系进行转换,往往可以起到意想不到的效果.

【例3】【2017四川省资阳市高三上学期第一次诊断考试】函数

的图象的一条对称轴方程为（）

A．

B．

C．

D．

【分析】先用辅助角公式对所给函数进行变换：

=

=

.

【答案】B

【点评】常数的变换在辅助角公式中最常见,其他地方的常数变换相对更隐蔽,要细心观察表达式的特征,从中寻找蛛丝马迹.

【小试牛刀】【2016届山东师大附中高三上学期二模】若

且

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因为,

所以

即

所以

四、降幂化一,热点不断

三角公式中,一次关系式较多,特别是同角关系式,以及化一公式等等,因此在观察函数关系式时,注意其次数的特征,将高次化为一次,也是解决问题的重要途径.

【例4】【2016届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】已知函数

（1）求函数

的最小正周期和最大值；

（2）求函数

单调递增区间

【分析】三角函数问题,一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数,然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论．

【解析】

（1）

函数

的最小正周期为

函数

的最大值为

（2）由

得

函数

的单调递增区间为

【点评】在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时,常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法,达到由不统一转化到统一,消除差异的目的．总之,三角恒等变换说到底就是“四变”,即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆,达到使角相同；通过转换函数,达到同名（最好使式中只含一个函数名）；通过对式子变形,达到化简（尽可能整式化、低次化、有理化）；通过幂的升降,达到幂的统一．

∈R、k∈N等.

【小试牛刀】已知函数f（x）＝2

cos2x＋sin2x－

＋1（x∈R）．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的单调递增区间；

（3）若x∈,求f（x）的值域．

（3）∵x∈,

∴2x＋

∈．

∴sin（2x＋

）∈．

∴f（x）∈．

五、和差倍分,注意结构

三角变换中,函数表达式结构上的变换也要充分注意,结构式的差异往往隐藏着对条件和结论的联系.

【例5】已知

.

（1）求

的值；

（2）求

的值．

【分析】先化简表达式,利用商数关系得到

再利用倍角公式展开

将

代入到化简的式子中计算即可；第二问,利用第一问的结论,将所求表达式化简,利用倍角公式、两角和的余弦公式,化简表达式,再利用齐次式化成关于

的式子,将第一问的结论代入得到所求式子的值.

【解析】

（1）∵

则

∴

∴

（2）原式

【点评】本题需要从多角度分析,一是角的倍分关系,二是函数的同角变换,最后再利用和差角、齐次式等思想方法,方能正确求解.

【小试牛刀】【2017江西省抚州市七校2高三上学期联考】若

则

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

六、公式变用,柳暗花明

三角函数有众多的公式,我们不仅要会使用公式,还要会使用其变形的等价形式.如cosα＝

tanα±tanβ＝tan（α＋β）（1

tanαtanβ）等.

【例7】

的值为（）

A.

B.

C.

D.

【分析】本题是非特殊角求值问题,首先应从10°＋50°＝60°入手,然后注意表达式特征,其中的tan10°＋tan50°和tan10°tan50°在正切的和角公式中也有显现,故考虑正切和角公式的变形.

【解析】由

变形

故

．

【答案】B.

【点评】三角公式是恒等式（当等式两边都有意义时）,所以,我们不仅要记住公式的原型,还要会逆用公式,或者变形使用,这需要考生对公式各部分的结构特征都要十分熟悉,才能对公式的变形使用驾轻就熟.

总体来说,在三角函数的变换中,各种变换都是穿插进行的,许多时候需要多方位思考,不能拘泥于某一种思维方式,这样才有利于打开思维的空间,找到更加合适的解题方法

【小试牛刀】【2017江西九江月考】

的值是（）

A．1B．

C．2D．

【答案】C

【解析】

=

=

故选C．

迁移运用

1.【2017河北唐山高三年级期末】已知

则

（）

A．

B．

C.

D．

【答案】D

【解析】因为

所以

＝

故选D．

2.设α、β都是锐角,且cosα＝

sin（α＋β）＝

则cosβ等于（　　）

A.

B.

C.

或

D.

或

【答案】A　

【解析】依题意得sinα＝

＝

cos（α＋β）＝±

＝±

.又α,β均为锐角,所以0<α<α＋β<π,cosα>cos（α＋β）．因为

>

>－

所以cos（α＋β）＝－

.于是cosβ＝cos

＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝－

×

＋

×

＝

.

3.【2017山东省枣庄高三上学期期末】已知

则

的值是（）

A．

B．

C.

D．

【答案】C

【解析】

又

所以

所以

＝

故选C．

4.【2016届河北省正定中学高三上学期期中】已知

则

的值是

A．

B．

C．

D．

【答案】D

5．【2016届福建省师大附中高三上学期期中】若

则

的值为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】因为

所以

故选C．

6.cos

·cos

·cos

等于（　　）

A．－

B．－

C.

D.

【答案】A　

【解析】原式＝cos

·cos

π·cos（－3π＋

π）＝

＝

＝

＝－

.

7．已知

那么

等于（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

8.已知

则

A.

B.

C.

D.

【答案】C

9.4cos50°－tan40°＝（　　）

A.

　　　B.

　　　C.

　　D．2

－1

【答案】C

【解析】4cos50°－tan40°＝4cos50°－

＝

－

＝

＝

＝

＝

＝

＝

＝

10.【2017河南省天一大联考】已知

则

．

【答案】

【解析】因为

所以

故答案为

.

11.【2017山东潍坊高三上学期期中联考】已知

则

．

【答案】

12.【2017山东省枣庄高三上学期期末】函数

的减区间是．

【答案】

【解析】

由

得

所以函数

的减区间是

．

13．【2017黑龙江省牡丹江市一中高三上学期期中】已知

则

．

【答案】

【解析】

．

14.【2017山西省孝义高三上学期二轮模考】已知

求下列各式的值.

（1）

；

（2）

.

【答案】

（1）

；

（2）

．

【解析】

（1）∵

∴

即

则原式

.

（2）∵

即

∴原式

.

15.【2017河南省天一大联考】已知函数

．

（1）求函数

的最小正周期与单调递增区间；

（2）若

时,函数

的最大值为0,求实数

的值．

【答案】

（1）

；

（2）

.

【解析】

（1）

则函数

的最小正周期

根据

得

所以函数

的单调递增区间为

．

（2）因为

所以

则当

时,函数取得最大值0,

即

解得

．

考点：

1、三角函数值的周期性及单调性；2、三角函数在闭区间上的最值.

16.【2017四川省资阳高三上学期第一次诊断考试】已