届高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何Word文档下载推荐.docx
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当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,
x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线
l的倾斜角.
直线倾斜角为
时,斜率不存在
(2)规定:
当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.
(3)范围:
直线l倾斜角的取值范围是[0,π).
2.斜率公式
斜率公式与两点的顺序无关,即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换,就是说,如果分子是y2-y1,那么分母必须是x2-x1;
反过来,如果分子是y1-y2,那么分母必须是x1-x2.
(1)定义式:
直线l的倾斜角为α,则斜率k=tanα.
(2)坐标式:
P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,
且x1≠x2,则l的斜率k=.
3.直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y=kx+b
两点式
=
不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)
截距式
+=1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0,A2+B2≠0
平面内所有直线都适用
“截距式”中截距不是距离,在用截距式时,应先判断,截距是否为0,若不确定,则需分类讨论.
二、常用结论汇总——规律多一点
特殊直线的方程
(1)直线过点P1(x1,y1),垂直于x轴的方程为x=x1;
(2)直线过点P1(x1,y1),垂直于y轴的方程为y=y1;
(3)y轴的方程为x=0;
(4)x轴的方程为y=0.
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( )
(2)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°
.( )
(3)直线的倾斜角越大,斜率k就越大.( )
(4)经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.( )
(5)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( )
答案:
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)√
(二)选一选
1.直线x+y+1=0的倾斜角是( )
A. B.
C.D.
解析:
选D 由直线的方程得直线的斜率为k=-,设直线的倾斜角为α,则tanα=-,又α∈[0,π),所以α=.故选D.
2.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为( )
A.1B.4
C.1或3D.1或4
选A 由k==1,得m=1.
3.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为( )
A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0
C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=0
选A 由y-5=-(x+2),得3x+4y-14=0.
(三)填一填
4.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为________.
由已知,得BC的中点坐标为,且直线BC边上的中线过点A,则BC边上中线的斜率k=-,故BC边上的中线所在直线方程为y+=-,即x+13y+5=0.
x+13y+5=0
5.直线3x-4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2,则实数k=________.
令x=0,得y=;
令y=0,得x=-,则有-=2,所以k=-24.
-24
[典例]
(1)直线2xcosα-y-3=0的倾斜角的取值范围是( )
(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________.
[解析]
(1)直线2xcosα-y-3=0的斜率k=2cosα,
因为α∈,所以≤cosα≤,
因此k=2·
cosα∈[1,].
设直线的倾斜角为θ,则有tanθ∈[1,].
又θ∈[0,π),所以θ∈,
即倾斜角的取值范围是.
(2)设PA与PB的倾斜角分别为α,β,直线PA的斜率是kAP=1,直线PB的斜率是kBP=-,当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由α增至90°
,斜率的取值范围为[1,+∞).
当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90°
增至β,斜率的变化范围是(-∞,-].
故直线l斜率的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).
[答案]
(1)B
(2)(-∞,-]∪[1,+∞)
[变透练清]
1.若将本例
(1)中的条件变为:
平面上有相异两点A(cosθ,sin2θ),B(0,1),则直线AB的倾斜角α的取值范围是________.
由题意知cosθ≠0,则斜率k=tanα==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1],所以直线AB的倾斜角的取值范围是∪.
∪
2.若将本例
(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,则直线l斜率的取值范围为________.
设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0.
∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上,
∴(2k-1+k)(-+k)≤0,
即(3k-1)(k-)≤0,解得≤k≤.
即直线l的斜率的取值范围是.
3.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________.
因为kAC==1,kAB==a-3.由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.
4
[解题技法] 斜率取值范围的两种求法
数形结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定
函数图象法
根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可
[典例]
(1)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍,则该直线的方程为________________.
(2)若直线经过点A(-,3),且倾斜角为直线x+y+1=0的倾斜角的一半,则该直线的方程为________________.
(3)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为________________.
[解析]
(1)①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为y=kx,将(-5,2)代入y=kx中,得k=-,此时,直线方程为y=-x,即2x+5y=0.
②当横截距、纵截距都不为零时,
设所求直线方程为+=1,
将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,此时,直线方程为x+2y+1=0.
综上所述,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.
(2)由x+y+1=0得此直线的斜率为-,所以倾斜角为120°
,从而所求直线的倾斜角为60°
,故所求直线的斜率为.
又直线过点A(-,3),所以所求直线方程为y-3=(x+),即x-y+6=0.
(3)设C(x0,y0),则M,N.
因为点M在y轴上,所以=0,所以x0=-5.
因为点N在x轴上,所以=0,
所以y0=-3,即C(-5,-3),
所以M,N(1,0),
所以直线MN的方程为+=1,
即5x-2y-5=0.
[答案]
(1)x+2y+1=0或2x+5y=0
(2)x-y+6=0 (3)5x-2y-5=0
[解题技法]
1.求解直线方程的2种方法
直接法
根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程
待定系数法
①设所求直线方程的某种形式;
②由条件建立所求参数的方程(组);
③解这个方程(组)求出参数;
④把参数的值代入所设直线方程
2.谨防3种失误
(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时,要注意讨论斜率是否存在.
(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点,截距是否为0.
(3)应用一般式Ax+By+C=0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.
[题组训练]
1.过点(1,2),倾斜角的正弦值是的直线方程是________________.
由题知,倾斜角为或,所以斜率为1或-1,直线方程为y-2=x-1或y-2=-(x-1),即x-y+1=0或x+y-3=0.
x-y+1=0或x+y-3=0
2.过点P(6,-2),且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________________.
设直线方程的截距式为+=1,则+=1,解得a=2或a=1,则直线的方程是+=1或+=1,即2x+3y-6=0或x+2y-2=0.
2x+3y-6=0或x+2y-2=0
[典例] 已知直线l过点M(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,求当||·
||取得最小值时直线l的方程.
[解] 设A(a,0),B(0,b),则a>0,b>0,直线l的方程为+=1,
所以+=1.
||·
||=-·
=-(a-2,-1)·
(-2,b-1)
=2(a-2)+b-1=2a+b-5
=(2a+b)-5
=+≥4,
当且仅当a=b=3时取等号,此时直线l的方程为x+y-3=0.
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.
(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.
(3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的性质或基本不等式求解.
[题组训练]
1.若直线ax+by=ab(a>
0,b>
0)过点(1,1),则该直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为( )
A.1 B.2
C.4D.8
选C ∵直线ax+by=ab(a>
0)过点(1,1),
∴a+b=ab,即+=1,
∴a+b=(a+b)
=2++≥2+2=4,
当且仅当a=b=2时上式等号成立.
∴直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为4.
2.已知直线l:
x-my+m=0上存在点M满足与A(-1,0),B(1,0)两点连线的斜率kMA与kMB之积为3,则实数m的取值范围是( )
A.[-,]
B.∪
C.∪
D.
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