实验Z变换离散系统零极点分布和频率分析Word文档下载推荐.docx

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den=[183-4-1];

2．Z变换和Z反变换

MATLAB的符号数学工具箱提供了计算Z变换的函数ztrans（）和Z反变换的函数iztrans（），其调用形式为

上面两式中，右端的

和

分别为时域表示式和

域表示式的符号表示，可应用函数sym来实现，其调用格式为

式中，A为待分析的表示式的字符串，S为符号化的数字或变量。

【实例3-2】求

（1）指数序列

的Z变换;

（2）

的Z反变换。

解

（1）Z变换的MATLAB程序

%Z变换的程序实现

f=sym（'

a^n'

）;

F=ztrans（f）

程序运行结果为：

z/a/（z/a-1）

可以用simplify（）化简得到 

:

-z/（-z+a）

（2）Z反变换的MATLAB程序

%Z反变换实现程序

F=sym（'

a*z/（z-a）^2'

f=iztrans（F）

程序运行结果为

f=

a^n*n

（二）系统函数的零极点分析

1.系统函数的零极点分布

离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即

（3-1）

如果系统函数

的有理函数表示式为：

（3-2）

那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到，tf2zp的语句格式为：

[Z,P,K]=tf2zp（B,A）

其中，B与A分别表示

的分子与分母多项式的系数向量。

它的作用是将

的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即：

（3-3）

【实例3-3】已知一离散因果LTI系统的系统函数为

试用MATLAB命令求该系统的零极点。

用tf2zp函数求系统的零极点，MATLAB源程序为

B=[1,0.32];

A=[1,1,0.16];

[R,P,K]=tf2zp（B,A）

R=

-0.3200

P=

-0.8000

-0.2000

K=

1

因此，零点为

，极点为

与

。

若要获得系统函数

的零极点分布图，可直接应用zplane函数，其语句格式为：

zplane（B,A）

的分子和分母多项式的系数向量。

它的作用是在Z平面上画出单位圆、零点与极点。

【实例3-4】已知一离散因果LTI系统的系统函数为

，试用MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。

用zplane函数求系统的零极点，MATLAB源程序为

B=[1,0,-0.36];

A=[1,-1.52,0.68];

zplane（B,A）,gridon

legend（'

零点'

'

极点'

）

title（'

零极点分布图'

程序运行结果如图3-1所示。

可见，该因果系统的极点全部在单位圆内，故系统是稳定的。

2、系统函数的零极点分布与其时域特性的关系

与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，z变换建立了时域函数

与z域函数

之间的对应关系。

因此，z变换的函数

从形式可以反映

的部分内在性质。

我们仍旧通过讨论

的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。

【实例3-4】试用MATLAB命令画出现下列系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位取样响应

的波形，并分析系统函数的极点对时域波形的影响。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

MATLAB源程序为

b1=[1,0];

a1=[1,-0.8];

subplot（121）

zplane（b1,a1）

极点在单位圆内的正实数'

subplot（122）

impz（b1,a1,30）;

gridon;

figure

b2=[1,0];

a2=[1,0.8];

zplane（b2,a2）

极点在单位圆内的负实数'

impz（b2,a2,30）;

b3=[1,0];

a3=[1,-1.2,0.72];

zplane（b3,a3）

极点在单位圆内的共轭复数'

impz（b3,a3,30）;

b4=[1,0];

a4=[1,-1];

zplane（b4,a4）

极点在单位圆上为实数1'

impz（b4,a4）;

b5=[1,0];

a5=[1,-1.6,1];

zplane（b5,a5）

极点在单位圆上的共轭复数'

impz（b5,a5,30）;

b6=[1,0];

a6=[1,-1.2];

zplane（b6,a6）

极点在单位圆外的正实数'

impz（b6,a6,30）;

b7=[1,0];

a7=[1,-2,1.36];

zplane（b7,a7）

极点在单位圆外的共轭复数'

impz（b7,a7,30）;

程序运行结果分别如图32的（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）所示。

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）

图3-2系统函数的零极点分布与其时域特性的关系

（g）

从图3-2可知，当极点位于单位圆内时，

为衰减序列；

当极点位于单位圆上时，

为等幅序列；

当极点位于单位圆外时，

为增幅序列。

若

有一阶实数极点，则

为指数序列；

有一阶共轭极点，则

为指数振荡序列；

的极点位于虚轴左边，则

序列按一正一负的规律交替变化。

（三）离散时间LTI系统的频率特性分析

对于因果稳定的离散时间系统，如果激励序列为正弦序列

，则系统的稳态响应为

其中，

通常是复数。

离散时间系统的频率响应定义为

（3-4）

称为离散时间系统的幅频特性；

称为离散时间系统的相频特性；

是以

（

，若零

，

）为周期的周期函数。

因此，只要分析

在

范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。

MATLAB提供了求离散时间系统频响特性的函数freqz，调用freqz的格式主要有两种。

一种形式为

[H,w]=freqz（B,A,N）

的分子和分母多项式的系数向量；

N为正整数，默认值为512；

返回值w包含

范围内的N个频率等分点；

返回值H则是离散时间系统频率响应

范围内N个频率处的值。

另一种形式为

[H,w]=freqz（B,A,N,’whole’）

与第一种方式不同之处在于角频率的范围由

扩展到

【实例3-4】用MATLAB命令绘制系统

的频率响应曲线。

解：

利用函数freqz计算出

，然后利用函数abs和angle分别求出幅频特性与相频特性，最后利用plot命令绘出曲线。

b=[1-0.960.9028];

a=[1-1.560.8109];

[H,w]=freqz（b,a,400,'

whole'

Hm=abs（H）;

Hp=angle（H）;

subplot（211）

plot（w,Hm）,gridon

xlabel（'

\omega（rad/s）'

）,ylabel（'

Magnitude'

离散系统幅频特性曲线'

subplot（212）

plot（w,Hp）,gridon

Phase'

离散系统相频特性曲线'

程序运行结果如图3-3所示。

四、实验内容

1、计算

提示：

b=1;

a=poly（[0.90.9-0.9]）;

[r,p,k]=residuez（b,a）

因此得到

相应的

2、已知某离散系统的系统函数为

试用MATLAB求出该系统的零极点，并画出零极点分布图，求系统的单位冲激响应和幅频响应，并判断系统的是否稳定。

五、思考题

1、讨论极点与系统稳定性的关系？

根据程序运行结果判断该系统的稳定性。

2、根据实验程序的运行结果写出z反变换x（n）。