常微分方程第三版课后答案Word文档格式.docx

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1．=

y=e（e）

=e[-e（）+c]

=ce-（）是原方程的解。

2．+3x=e

原方程可化为：

=-3x+e

所以：

x=e（ee）

=e（e+c）

=ce+e是原方程的解。

3．=-s+

s=e（e）

=e（）

=e（）

=是原方程的解。

4．，n为常数.

是原方程的解.

5．+=

=-

（）

=是原方程的解.

6．

=+

令则=u

因此：

=

（*）

将带入（*）中得：

是原方程的解.

13

这是n=-1时的伯努利方程。

两边同除以，

令

P（x）=Q（x）=-1

由一阶线性方程的求解公式

=

14

两边同乘以

这是n=2时的伯努利方程。

两边同除以令

P（x）=Q（x）=

15

这是n=3时的伯努利方程。

两边同除以

令

=P（y）=-2yQ（y）=

由一阶线性方程的求解公式

16y=+

P（x）=1Q（x）=由一阶线性方程的求解公式

c=1

y=

17设函数（t）于∞<

t<

∞上连续，（0）存在且满足关系式（t+s）=（t）（s）

试求此函数。

令t=s=0得（0+0）=（0）（0）即（0）=故或

（1）当时即

∞,∞）

（2）当时=

==

于是变量分离得积分

由于，即t=0时1=c=1

故

20.试证：

（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；

（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数.

（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.

证明：

（2.28）

（2.3）

（1）设，是（2.28）的任意两个解

则

（1）

（2）

（1）-

（2）得

即是满足方程（2.3）

所以，命题成立。

（2）由题意得：

（3）

（4）

1）先证是（2.28）的一个解。

于是得

故是（2.28）的一个解。

2）现证方程（4）的任一解都可写成的形式

设是（2.28）的一个解

则（4’）

于是（4’）-（4）得

从而

即

（3）设，是（2.3）的任意两个解

则（5）

（6）

于是（5）得

即其中为任意常数

也就是满足方程（2.3）

（5）（6）得

所以命题成立。

21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。

（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；

（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；

设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为

从而此切线与两坐标轴的交点坐标为

即横截距为，

纵截距为。

由题意得：

（5）

方程变形为

于是

所以，方程的通解为。

（6）

方程变形为

22．求解下列方程。

（1）

=

（2）

习题2.3

1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。

1.

，=1.

则

所以此方程是恰当方程。

凑微分，

得：

2．

，.

则.

所以此方程为恰当方程。

得

3．

因此此方程是恰当方程。

（1）

对

（1）做的积分，则

=（3）

对（3）做的积分，则

故此方程的通解为

4、

.

则此方程为恰当方程。

5.（sin-cos+1）dx+（cos-sin+）dy=0

M=sin-cos+1N=cos-sin+

=-sin-cos-cos+sin

所以，=，故原方程为恰当方程

因为sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0

d（-cos）+d（sin）+dx+d（-）=0

所以，d（sin-cos+x-）=0

故所求的解为sin-cos+x-=C

求下列方程的解：

6．2x（y-1）dx+dy=0

=2x,=2x

又2xydx-2xdx+dy=0

所以，d（y-x）=0

故所求的解为y-x=C

7.（e+3y）dx+2xydy=0

edx+3ydx+2xydy=0

exdx+3xydx+2xydy=0

所以，de（x-2x+2）+d（xy）=0

即d[e（x-2x+2）+xy]=0

故方程的解为e（x-2x+2）+xy=C

8.2xydx+（x+1）dy=0

2xydx+xdy+dy=0

d（xy）+dy=0

即d（xy+y）=0

故方程的解为xy+y=C

9、

两边同除以得

即，

故方程的通解为

10、

方程可化为：

即，

故方程的通解为：

即：

同时，y=0也是方程的解。

11、

12、

故方程的通解为：

13、

这里，

方程有积分因子

两边乘以得：

方程是恰当方程

即：

14、

这里

因为

15、

这里

方程有积分因子：

两边乘以得：

方程为恰当方程

故通解为：

16、

两边同乘以得：

17、试导出方程具有形为和的积分因子的充要条件。

若方程具有为积分因子，

（是连续可导）

，.

，

，

，

方程有积分因子的充要条件是：

是的函数，

此时，积分因子为.

此时的积分因子为

18.设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.

证:

必要性若该方程为线性方程,则有,

此方程有积分因子,只与有关.

充分性若该方程有只与有关的积分因子.

则为恰当方程,

从而,,

其中.于是方程可化为

即方程为一阶线性方程.

20.设函数f（u），g（u）连续、可微且f（u）g（u）,\，试证方程yf（xy）dx+xg（xy）dy=0

有积分因子u=（xy[f（xy）-g（xy）]）

证：

在方程yf（xy）dx+xg（xy）dy=0两边同乘以u得：

uyf（xy）dx+uxg（xy）dy=0

则=uf+uy+yf=+-yf

==

而=ug+ux+xg=+-xg

故=，所以u是方程得一个积分因子

21．假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N（x,y）满足关系=

Nf（x）-Mg（y）,其中f（x）,g（y）分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43）

有积分因子u=exp（+）

M（x,y）dx+N（x,y）dy=0

即证u+M=u+N

u（-）=N-Mu（-）=Nef（x）

-Meg（y）u（-）=e（Nf（x）-Mg（y））

由已知条件上式恒成立，故原命题得证。

22、求出伯努利方程的积分因子.

已知伯努利方程为：

两边同乘以，令，

线性方程有积分因子：

，故原方程的积分因子为：

，证毕！

23、设是方程的积分因子，从而求得可微函数，

使得试证也是方程的积分因子的充要条件是其中是的可微函数。

若，则

又

即为的一个积分因子。

24、设是方程的两个积分因子，且常数，求证（任意常数）是方程的通解。

因为是方程的积分因子

所以为恰当方程

即，

下面只需证的全微分沿方程恒为零

事实上：

即当时，是方程的解。

证毕！

习题2.4

求解下列方程

1、

令，则，

从而，

于是求得方程参数形式得通解为.

2、

令，则，即，

从而

于是求得方程参数形式得通解为.

3、

于是求得方程参数形式的通解为,

另外，y=0也是方程的解.

4、,为常数

于是求得方程参数形式的通解为.

5、1

6、

令，则，得，

所以，

从而，

于是求得方程参数形式的通解为，

因此方程的通解为.

习题2.5

两边同除以，得：

即

4．

两边同除以，得

则

即

得到，

另外也是方程的解。

6．

得到

另外也是方程的解。

8.

则：

故

10．

而故两边积分得到

因此原方程的解为，。

12.

则

故方程的解为

14．

那么

求得：

或可写为

16．

令则

即方程的解为

18．

将方程变形后得

同除以得：

令则

即原方程的解为

19.X（

方程可化为2y（

27.

令，，则

，，

，

两边积分得

即为方程的通解。

另外，，即也是方程的解。

28.

两边同除以，方程可化为：

令，则

为方程的解。

29.

令，则，

那么

即为方程的解。

30.

方程可化为

两