一元二次方程的应用2教育教案及到导学案 新版新人教版Word文档下载推荐.docx
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百位数字×
100+十位数字×
三个连续整数可表示为:
x-1,x,x+1;
三个连续奇数可表示为:
2x-1,2x+1,2x+3;
三个连续偶数可表示为:
2x-2,2x,2x+2.
三、新知讲解
一元二次方程的应用——营销问题(“每每型”问题)
每每型问题指“每降低多少单价,每次就增加多少销量”或“每增加多少单价,每次就减少多少销量”的问题,关键是找出两个“每次”代表的数量,并用未知数表达出来,然后根据等量关系列出方程求解.
四、典例探究
.一元二次方程的应用——数字问题
【例1】
(XX秋&
#8226;
冠县校级期末)一个两位数等于它的个位数字的平方,且个位数字比十位数字大3,求这个两位数.
总结:
对于数字问题,首先要明确数的表示方法:
(1)如果是两位数,个位数字设为a,十位数字设为b,那么这个两位数可表示为10b+a;
(2)如果是三位数,个位数字设为a,十位数字设为b,百位数字设为c,那么这个三位数可表示为100c+10b+a;
(3)设x为整数,三个连续整数可表示为x-1,x,x+1,三个连续奇数可表示为2x-1,2x+1,2x+3;
三个连续偶数可表示为2x-2,2x,2x+2.
练1有一个两位数等于其数字之积的3倍,其十位数字比个位数字小2,求这个两位数.
练2(XX&
河北模拟)刘谦的魔术表演风靡全国,小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中时,会得到一个新的实数:
a2+b﹣1,例如:
把(3,﹣2)放入其中,就会得到32+(﹣2)﹣1=6.现将实数对(m,﹣2m)放入其中,得到实数2,则m的值是(
)
A.3
B.﹣1
c.﹣3或1
D.3或﹣1
2.一元二次方程的应用——营销问题
【例2】
(XX&
乌鲁木齐)某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:
每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润,应将销售单价定位多少元?
用一元二次方程解决的营销问题中,常用的关系式有:
利润=售价-进价,单件利润×
销售量=总利润.
用一元二次方程解决的每每型问题,通常指“每降低多少单价,每次就增加多少销量”或“每增加多少单价,每次就减少多少销量”的问题,注意两个“每次”.
每每型问题中,每次涨(降)价,会引起定价和销量的变化,定价的变化又影响单件利润,等量关系式一般是单件利润×
每每型问题中要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句,这是进行答案取舍的重要信息.
练3(XX&
淮安)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
3.一元二次方程的应用——动态几何问题
【例3】
(XX春&
寿县校级月考)如图△ABc,∠B=90°
,AB=6,Bc=8.点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边Bc向点c以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,当点Q运动到点c时,两点停止运动,问:
(1)经过几秒,△PBQ的面积等于8cm2?
(2)△PBQ的面积会等于10cm2吗?
若会,请求出此时的运动时间;
若不会,请说明理由.
动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题.解决这类题,要搞清楚图形的变化过程,正确分析变量和其他量之间的联系,动中窥静,以静制动.
动态几何问题中常关心“不变量”.在求某个特定位置或特定值时,经常建立方程模型求解.
练4(XX春&
慈溪市校级月考)如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙Ac上,这时B到墙c的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米?
(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整:
解:
设点B将向外移动x米,即BB1=x,
则B1c=x+0.7,A1c=Ac﹣AA1=﹣0.4=2
而A1B1=2.5,在Rt△A1B1c中,由B1c2+A1c2=A1B12得方程,
解方程得x1=,x2=,∴点B将向外移动米.
(2)解完“思考题”后,小聪提出了如下问题:
梯子的顶端从A处沿墙Ac下滑的距离与点B向外移动的距离,有可能相等吗?
为什么?
请你解答小聪提出的这个问题.
五、课后小测
一、选择题
.已知两数之差为4,积等于45,则这两个数是(
A.5和9
B.﹣9和﹣5
c.5和﹣5或﹣9和9
D.5和9或﹣9和﹣5
2.(XX&
鄂城区校级模拟)西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价o.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利2o0元,应将每千克小型西瓜的售价降低(
)元.
A.0.2或0.3
B.0.4
c.0.3
D.0.2
3.如图,房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成.图中,第1个黑色形由3个正方形组成,第2个黑色形由7个正方形组成,那么组成第12个黑色形的正方形个数是(
A.44
B.45
c.46
D.47.
二、填空题
4.(XX秋&
娄底校级期末)若两个连续偶数的积是224,则这两个数的和是______.
5.(XX&
东西湖区校级模拟)商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.据此规律计算:
每件商品降价_____元时,商场日盈利可达到2100元.
三、解答题
6.(XX&
谷城县模拟)怎样用一条长40cm的绳子围成一个面积为96cm2的矩形?
能围成一个面积为102cm2的矩形吗?
如果能,说明围法;
如果不能,说明理由.
7.(XX春&
江阴市期末)某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营,该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品.第一周以每个35元的价格售出300个,第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,可多售出50个).
(1)若第二周降低价格1元售出,则第一周,第二周分别获利多少元?
(2)若第二周单价降低x元销售一周后,商店对剩余商品清仓处理,以每个15元的价格全部售出,如果这批商品计划获利9500元,问第二周每个商品的单价应降低多少元?
8.(XX&
江西模拟)等腰△ABc的直角边AB=Bc=10cm,点P、Q分别从A、c两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边Bc的延长线运动,PQ与直线Ac相交于点D.设P点运动时间为t,△PcQ的面积为S.
(1)求出S关于t的函数关系式;
(2)当点P运动几秒时,S△PcQ=S△ABc?
(3)作PE⊥Ac于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?
证明你的结论.
9.(XX春&
汕头校级期中)如图,长方形ABcD(长方形的对边相等,每个角都是90°
),AB=6cm,AD=2cm,动点P、Q分别从点A、c同时出发,点P以2厘米/秒的速度向终点B移动,点Q以1厘米/秒的速度向D移动,当有一点到达终点时,另一点也停止运动.设运动的时间为t,问:
(1)当t=1秒时,四边形BcQP面积是多少?
(2)当t为何值时,点P和点Q距离是3cm?
(3)当t=以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形.(直接写出答案)
典例探究答案:
【例1】【解析】设这个两位数字的个位数字是x,则十位数字是(x﹣3),则这个两位数为[10(x﹣3)+x],然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程求解.
设这个两位数字的个位数字是x,则十位数字是(x﹣3),
根据题意得10(x﹣3)+x=x2
原方程可化为:
x2﹣11x+30=0,
∴x1=5,x2=6,
当x=5时,x﹣3=2,两位数为25;
当x=6时,x﹣3=3,两位数为36.
答:
这个两位数是25或36.
点评:
此题主要考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
练1.【解析】设这个两位数字的个位数字为x,则十位数字为(x-2),则这个两位数为10(x-2)+x,然后根据这个两位数等于其数字之积的3倍列方程,并解方程即可.
设这个两位数字的个位数字为x,则十位数字为(x-2).
根据题意,得10(x-2)+x=3x(x-2),
3x2-17x+20=0,
因式分解,得(3x-5)(x-4)=0,
解得x1=,x2=4.
因为x为整数,所以x=不符合题意,x=4.
0(x-2)+x=24,所以这个两位数是24.
本题考查了一元二次方程的应用中的数字问题.注意:
在求得解后,要进行实际意义的检验,舍去不符合题意的解.
练2.【解析】按照相应的运算方法与顺序,让得到的含m的一元二次方程的结果为2,列式求值即可.
由题意得:
m2+(﹣2m)﹣1=2,
m2﹣2m﹣3=0,
(m﹣3)(m+1)=0,
解得m1=3,m2=﹣1.
故选:
D.
考查一元二次方程的应用;
理解新定义的运算方法是解决本题的关键.
【例2】【解析】设降价x元,表示出售价和销售量,列出方程求解即可.
降价x元,则售价为(60﹣x)元,销售量为(300+20x)件,
根据题意,得(60﹣x﹣40)(300+20x)=6080,
解得x1=1,x2=4,
又顾客得实惠,故取x=4,定价为:
60-4=56(元),
应将销售单价定为56元.
本题考查了一元二次方程应用,从题中找到关键描述语,并找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键.此题要注意判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.
练3.【解析】
(1)销售量=原来销售量﹣下降销售量,据此列式即可;
(2
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