普通高等学校招生全国统一考试数学理试题山东卷正式版解析Word格式文档下载.docx

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一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

（1）若复数z满足其中i为虚数单位，则z=

（A）1+2i（B）12i（C）（D）

【答案】B

考点：

注意共轭复数的概念.

（2）设集合则=

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】

试题分析：

，，则，选C.

本题涉及到求函数值域、解不等式以及集合的运算.

（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：

小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是

（A）56（B）60（C）120（D）140

【答案】D

频率分布直方图

（4）若变量x，y满足则的最大值是

（A）4（B）9（C）10（D）12

不等式组表示的可行域是以A（0,-3）,B（0,2）,C（3,-1）为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值,故选C.

线性规划求最值

（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为

（A）（B）（C）（D）

根据三视图求体积.

（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

【答案】A

直线a与直线b相交,则一定相交,若相交,则a,b可能相交，也可能平行,故选A.

直线与平面的位置关系；

充分、必要条件的判断.

（7）函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx–sinx）的最小正周期是

（A）（B）π（C）（D）2π

故最小正周期,故选B.

三角函数化简求值，周期公式

（8）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<

m，n>

=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为

（A）4（B）–4（C）（D）–

平面向量的数量积

（9）已知函数f（x）的定义域为R.当x<

0时，；

当时，；

当时，.则f（6）=

（A）−2（B）−1（C）0（D）2

当时，,所以当时，函数是周期为的周期函数，所以，又因为函数是奇函数，所以，故选D.

本题考查了函数的周期性、奇偶性，灵活变换求得函数性质是解题的关键.

（10）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质.下列函数中具有T性质的是

（A）y=sinx（B）y=lnx（C）y=ex（D）y=x3

当时，，，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；

函数的导数值均非负，不符合题意，故选A.

本题注意实质上是检验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1.

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.

【答案】3

循环结构抓住结束点是关键.

（12）若（ax2+）3的展开式中x3的系数是—80，则实数a=_______.

【答案】-2

因为，所以由，因此

二项展开式

（13）已知双曲线E1：

（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.

【答案】2

易得，，所以，，由，得离心率或（舍去），所以离心率为2.

把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.

（14）在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为.

【答案】

直线与圆位置关系；

几何概型概率

（15）已知函数其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.

由题意画出函数图像为图时才符合，要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根应解得，即.

能够准确画出函数的图像是解决本题的关键.

三、解答题：

本答题共6小题，共75分。

（16）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）证明：

a+b=2c;

（Ⅱ）求cosC的最小值.

（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）

由知,

所以

，

当且仅当时，等号成立.

故的最小值为.

两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理、基本不等式.

17.（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.

（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：

GH∥平面ABC；

（II）已知EF=FB=AC=AB=BC.求二面角的余弦值.

所以平面.

由

可得

可得平面的一个法向量

因为平面的一个法向量

所以，

所以二面角的余弦值为.

空间平行判定与性质；

异面直线所成角的计算；

空间想象能力，推理论证能力

（18）（本小题满分12分）

已知数列的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令求数列的前n项和Tn.

（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

数列前n项和与第n项的关系；

等差数列定义与通项公式；

错位相减法

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；

如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；

如果两人都没猜对，则“星队”得0分。

已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；

每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。

各轮结果亦互不影响。

假设“星队”参加两轮活动，求：

（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.

（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，

（Ⅱ）由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.

由事件的独立性与互斥性，得

可得随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

6

P

所以数学期望.

独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；

分布列和期望

（20）（本小题满分13分）

已知.

（I）讨论的单调性；

（II）当时，证明对于任意的成立.

（Ⅱ）见解析

（2）当时，。

若，则，所以当或时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

若时，，，函数单调递增；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知时，

，，

令，则，

由可得当且仅当时取等号；

又，设，则在上单调递减，

且，

所以在上存在使得时，时，，

所以函数在上单调递增；

在上单调递减，

由于，因此当且仅当取等号，

所以，即对于任意的恒成立。

利用导函数判断单调性；

分类讨论思想.

（21）（本小题满分14分）

平面直角坐标系中，椭圆C：

的离心率是，抛物线E：

的焦点F是C的一个顶点.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

（i）求证：

点M在定直线上;

（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.

（Ⅰ）;

（Ⅱ）（i）见解析；

（ii）的最大值为，此时点的坐标为

所以直线的斜率为，其直线方程为，即.

（2）由

（1）知直线的方程为，

令得，所以，

又，

所以，，

所以，令，则，

椭圆方程；

直线和抛物线的关系；

二次函数求最值；

运算求解能力.