概率论与数理统计答案华东师大魏宗舒版Word文档下载推荐.docx
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1.3一个工人生产了个零件,以事件表示他生产的第个零件是合格品()。
用表示下列事件:
(1)没有一个零件是不合格品;
(2)至少有一个零件是不合格品;
(3)仅仅只有一个零件是不合格品;
(4)至少有两个零件是不合格品。
解
(1);
(2);
(3);
(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”,可表示为;
1.4证明下列各式:
(1);
(2)
(3);
(4)
(5)
(6)
证明
(1)—(4)显然,(5)和(6)的证法分别类似于课文第10—12页(1.5)式和(1.6)式的证法。
1.5在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张,把卡片上的两个数字组成一个分数,求所得分数为既约分数的概率。
解样本点总数为。
所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个,或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合,所以事件“所得分数为既约分数”包含个样本点。
于是
。
1.6有五条线段,长度分别为1、3、5、7、9。
从这五条线段中任取三条,求所取三条线段能构成一个三角形的概率。
所取三条线段能构成一个三角形,这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。
所以事件“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点,于是。
1.7一个小孩用13个字母作组字游戏。
如果字母的各种排列是随机的(等可能的),问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大?
解显然样本点总数为,事件“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含个样本点。
所以
1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”,求它们正好可以相互吃掉的概率。
解任意固定红“车”的位置,黑“车”可处于个不同位置,当它处于和红“车”同行或同列的个位置之一时正好相互“吃掉”。
故所求概率为
1.9一幢10层楼的楼房中的一架电梯,在底层登上7位乘客。
电梯在每一层都停,乘客从第二层起离开电梯,假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的,求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯,现有7位乘客,所以样本点总数为。
事件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层,各有一位乘客离开电梯”。
所以包含个样本点,于是。
1.10某城市共有10000辆自行车,其牌照编号从00001到10000。
问事件“偶然遇到一辆自行车,其牌照号码中有数字8”的概率为多大?
解用表示“牌照号码中有数字8”,显然,所以
-
1.11任取一个正数,求下列事件的概率:
(1)该数的平方的末位数字是1;
(2)该数的四次方的末位数字是1;
(3)该数的立方的最后两位数字都是1;
解
(1)答案为。
(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时,其四次方的末位数是1,所以答案为
(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字,所以样本空间包含个样本点。
用事件表示“该数的立方的最后两位数字都是1”,则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字为,则该数的立方的最后两位数字为1和3的个位数,要使3的个位数是1,必须,因此所包含的样本点只有71这一点,于是
1.12一个人把6根草掌握在手中,仅露出它们的头和尾。
然后请另一个人把6个头两两相接,6个尾也两两相接。
求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。
并把上述结果推广到根草的情形。
解
(1)6根草的情形。
取定一个头,它可以与其它的5个头之一相接,再取另一头,它又可以与其它未接过的3个之一相接,最后将剩下的两个头相接,故对头而言有种接法,同样对尾也有种接法,所以样本点总数为。
用表示“6根草恰好连成一个环”,这种连接,对头而言仍有种连接法,而对尾而言,任取一尾,它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。
再取另一尾,它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接,最后再将其余的尾连接成环,故尾的连接法为。
所以包含的样本点数为,于是
(2)根草的情形和
(1)类似得
1.13把个完全相同的球随机地放入个盒子中(即球放入盒子后,只能区别盒子中球的个数,不能区别是哪个球进入某个盒子,这时也称球是不可辨的)。
如果每一种放法都是等可能的,证明
(1)某一个指定的盒子中恰好有个球的概率为,
(2)恰好有个盒的概率为,
(3)指定的个盒中正好有个球的概率为,
解略。
1.14某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。
解所求概率为
1.15在中任取一点,证明的面积之比大于的概率为。
解截取,当且仅当点落入之内时的面积之比大于,因此所求概率为。
1.16两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达。
设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时,求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。
解分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间。
一艘船到达泊位时必须等待当且仅当。
因此所求概率为
1.17在线段上任取三点,求:
(1)位于之间的概率。
(2)能构成一个三角形的概率。
解
(1)
(2)
1.18在平面上画有间隔为的等距平行线,向平面任意地投掷一个三角形,该三角形的边长为(均小于),求三角形与平行线相交的概率。
解分别用表示三角形的一个顶点与平行线相合,一条边与平行线相合,两条边与平行线相交,显然所求概率为。
分别用表示边,二边与平行线相交,则显然,,。
[]
(用例1.12的结果)
1.19己知不可能事件的概率为零,现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件?
试举例说明之。
解概率为零的事件不一定是不可能事件。
例如向长度为1的线段内随机投点。
则事件“该点命中的中点”的概率等于零,但不是不可能事件。
1.20甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先取,乙后取,每次取后都有不放回,直到两人中有一人取到白球时停止。
试描述这一随机现象的概率空间,并求甲或乙先取到白球的概率。
解表示白,表示黑白,表示黑黑白,…,
则样本空间{,,…,},并且,
,,…,
甲取胜的概率为+++…
乙取胜的概率为+++…
1.21设事件及的概率分别为、及,求,,,
解由得
,
1.22设、为两个随机事件,证明:
(1);
(2).
证明
(1)=
(2)由
(1)和得第一个不等式,由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。
1.23对于任意的随机事件、、,证明:
证明
1.24在某城市中共发行三种报纸:
甲、乙、丙。
在这个城市的居民中,订甲报的有45%,订乙报的有35%,订丙报的有30%,同时订甲、乙两报的有10%,同时订甲、丙两报的有8%,同时订乙、丙两报的有5%,同时订三种报纸的有3%,求下述百分比:
(1)只订甲报的;
(2)只订甲、乙两报的;
(3)只订一种报纸的;
(4)正好订两种报纸的;
(5)至少订一种报纸的;
(6)不订任何报纸的。
解事件表示订甲报,事件表示订乙报,事件表示订丙报。
(1)==30%
(2)
(3)
++=++=73%
(4)
(5)
1.26某班有个学生参加口试,考签共N张,每人抽到的考签用后即放回,在考试结束后,问至少有一张考没有被抽到的概率是多少?
解用表示“第张考签没有被抽到”,。
要求。
,,……,
,……
1.27从阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的概率是多少?
解阶行列式的展开式中,任一项略去符号不计都可表示为,当且仅当的排列中存在使时这一项包含主对角线元素。
用表示事件“排列中”即第个主对角线元素出现于展开式的某项中。
则
,……
1.29已知一个家庭中有三个小孩,且其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率(假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的)。
解用分别表示男孩和女孩。
则样本空间为:
其中样本点依年龄大小的性别排列。
表示“有女孩”,表示“有男孩”,则
1.30设件产品中有件是不合格品,从中任取两件,
(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率。
(2)在所取产品中有一件是合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率。
解
(1)设表示“所取产品中至少有一件是不合格品”,表示“所取产品都是不合格品”,则
(2)设表示“所取产品中至少有一件合格品”,表示“所取产品中有一件合格品,一件不合格品”。
1.31个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票,他们依次摸彩,求:
(1)已知前个人都没摸到,求第个人摸到的概率;
(2)第个人摸到的概率。
解设表示“第个人摸到”,。
(1)
1.32已知一个母鸡生个蛋的概率为,而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为,证明:
一个母鸡恰有个下一代(即小鸡)的概率为。
解用表示“母鸡生个蛋”,表示“母鸡恰有个下一代”,则
1.33某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手一人,一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2,求在一组内任选一名射手,该射手能通过选拔进入决赛的概率。
解用表示“任选一名射手为级”,,表示“任选一名射手能进入决赛”,则
1.34在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%,35%,40%,并在各自的产品里,不合格品各占有5%,4%,2%。
现在从产品中任取一只恰是不合格品,问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少?
解用表示“任取一只产品是甲台机器生产”
表示“任取一只产品是乙台机器生产”
表示“任取一只产品是丙台机器生产”
表示“任取一只产品恰是不合格品”。
则由贝叶斯公式:
1.35某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:
3:
2:
1,它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:
1。
当有一台机床需要修理时,问这台机床是车床的概率是多少?
解则,,,
,,,
由贝时叶斯公式得
1.36有朋友自远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。
如果他乘火车、轮船、汽车来的话,迟到的概率分别是、、,而乘飞机不会迟到。
结果他迟到了,试问他是乘火车来的概率是多少?
解用表示“朋友乘火车来”,表示“朋友乘轮船来”,表示“朋友乘汽车来”,表示“朋友乘飞机来”,表示“朋友迟到了”。
则
1.37证明:
若三个事件、
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