高等几何复习Word下载.docx

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为I:

:

，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线.

平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面.若对仿射平面上无穷

远元素（无穷远点、无穷远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面.

三、典型例题：

1、求直线x-1=0与直线x-3y•4=0上无穷远点的齐次坐标

解：

（1）直线x-1=0即x=1它与y轴平行所以位y轴上的无穷远点（0,1,0）

141

（2）由直线x-3y，4=0得yx•—故无穷远点为（1厂,0）或（3,1,0）

333

2、求证：

两直线为•x2-x3=0和2x.^-x22x3=0的交点C与两点

A（3,1,E2）,（三点共线

Xx,屜-x3=0

证明：

解方程组：

的交点C（1,-4,-3）

、2为-x2+2x3=0

1-4—3

因为行列式312=0所以三点共线

255

3、试证：

两共轭复点的连线是一实直线

证明.设a=（u1,u2,u3）,与a=（u-\,u2,u3）是共轭复点，两点连线为丨

由定理a在丨上,a在丨上，又a在丨上，所以a的共轭a也在直线丨上丨与丨重合，故叭巴旦.出卫=巨）

qu2u3u2u2u2

而两点确定一条直线所以，

土二虫=（出）即u1与u1都为实数

U3U3U3U2U3

所以Ui：

U2：

U3与一组实数成比例，即直线为实直线。

4、德萨格定理的逆定理：

如果两个三点形对应边的交点共线，则其对应顶点的连线共点。

如图三点形ABC与ABG的三对应边交点L,M,N共线，证明对应顶点连线共点

，考虑三点形BLBi与CMCi则有对应顶点连线共点N，故对应边的交点A,Ai,O共线

1、证明：

中心投影一般不保留共线三点的单比.

2、设一平面内有几条直线|1,|2,|n用TnEjH'

Tn-分别表示丨1与丨2，|2与bJlIjn—与丨n

间的中心投影.这一串中心投影的复合T=TnJTnN川T2T1把h上的点对应到In上的点，这种对应关系称为射影对应•举例说明对应点之间的连线一般不共点.

3、设有两个相交平面吗和让2，如果以S为中心做JT1到兀2的投影（S不在—和兀2上），把二1上一已知直线li投影到二2上直线I2•证明：

当S变动时，已知直线li的象I2总要通过一个定点，或与定直线平行.

4、设匚：

二1一；

：

2是平面G与二2之间的中心投影.试讨论■:

1上两条平行直线的象在二2中还是否平行，不平行有什么性质？

同样在二2上两条平行直线在\中的原象是否为平行线？

5、试证明：

中心投影不保持直线上两个线段之比.

第三章、射影变换与射影坐标

一、基本内容：

交比与调和比;

二维射影变换于二维射影坐标

二、主要公式

anx+a^|j_

an

a12

羊0

a2〔x+a22

a21

a22

=a〔1X1+a〔2X2

=a?

/]+a22X2

非齐次坐标形式：

x

齐次坐标形式：

円2

参数形式：

ab・：

c‘d=0,ad-bc^0

三、典型例题:

1、证明：

（ABi,CD）=（AB2,CD）的充要条件是：

（AA2,CD）=（RB2,CD）

设A=Ck!

D,A2=Ck2D,B^Cn^D,B2=Cn2D

k.k2

则（/CD）-,（A^B2,CD）2

n.n2

而（A"

|A2,CD）=-1,（B"

|B2,CD）=~1

k2n2

所以有（AA2,CD>

（BB,CD

2、已知共点直线a,b,d的方程为：

a:

2x-yT=0,b:

3x■y-2=0,d:

5x-1=0

口1

且（ab,cd）求直线c的方程

2

先化为齐次线坐标a[2,-1,1],b[3,1,-2],d[5,0,-1]

则有^ab即k-1

n11

令c=and则（ab,cd）所以n=

k22

171

c=a•—b=[—,-一,0]所以方程为7x-y=0

222

3、设一直线上的点的射影变换是x'

证明变换有两个自对应点，且这两自对应点

x+4

与任一对对应点的交比为常数。

，‘'

3x+2心2

令x=x由x得x—x-2=0解得=-1,x2=2

x4

即有两个自对应点

'

3k+2'

5

设k与k对应，有（（-1）2,kk）为常数

k+42

注：

结果有一也对，不过顺序有别

5

4、试证圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束

D

如图：

ABCD为圆内接正方形，P为圆上任意点。

因为AD二AB所以PA为角DPB的平

分线。

同理可证明PC是角EPB平分线。

即PAPC是角DPB的内外角平分线。

所以直线

PD,PA,PB,PC构成调和线束。

（PP：

EF）=-1

E,F为自对应元素，P与R对应

.2

所以刊上…両药得（PP,EF）=1因为P,P1不重合

故（PR,EF）=_1

P%=%+x2

6、求射影变换「x2二x2的不变点坐标

_I

PX3=X3

由特征方程:

0^X2=。

得=0,故x2=0上的点都是不变点

将，=1代入方程组0x20

0X3=0

x2=0是不变点列。

自测题

1、设R（1,1,1）,F2（1,—1,1）,P4（1,0,1）为共线三点，且（RP2,P3P4）=2求P的坐标。

1

2、已知线束中三直线a,b,c求作直线d使（ab,cd）=

3、射影变换使直线上以0,1为坐标的点及无穷远点顺次对应-1,0,1求变换式，并判断变换的类型。

22

4、求两直线ax2hxyby=0所构成角的平分线方程

5、试证在同一直线上的四点的交比值与直线上摄影坐标系的选取无关。

|「人=2x1-X2X3

6、求射影变换｛Px2'

=为+2x2-x3的逆变换，并求出影消线对应直线的方程。

第四章变换群与几何学

疑难解析

（1）基本定义

（2）变换的集合G构成群的充要条件是:

①若；

1,G，则'

2■G（封闭性）；

②若八G,则」-G（存在逆元）

2•克莱因关于几何学的变换群观点

正交变换群t欧氏几何；

仿射变换群t仿射几何；

射影变换群t射影几何；

就变换群的大小来看，三种变换群的关系为：

从几何学研究的内容来看，它们的关系是：

欧氏几何二仿射几何二射影几何.

名称

射影几何

仿射几何

相似几何

欧氏几何

变换群

射影群

仿射群

相似群

正交群

纯度量性质

纯相似性质

纯度量不变量

研

纯仿射性质

纯相似不变量

究

射影性质

纯仿射不变量

对

射影不变量

象

结合性

主要不变性质

平行性

分割性

保角性

合同性

基本不变量

交比

单比

相似比

距离

例题选解

例1证明：

平面内有公共旋转中心的所有旋转变换构成群

不失一般性，可将旋转中心取为原点，则变换的一般式为：

xxcosysin^

y=xsin寸ycos^

容易证明，这种变换对于乘法是封闭的，且逆变换也是以原点为中心的旋转变换（其实

就是旋转丿的变换），所以这种变换的集合构成群.

例2下面所说的名称或定理，哪些属于射影几何学？

哪些属于仿射几何学？

哪些属于欧氏

几何学？

（最大的）

（1）梯形；

（2）正方形；

（3）离心率；

（4）塞瓦定理与麦尼劳斯定理；

（5）重心；

（6）垂心；

（7）平行四边形的对角线互相平分；

（8）在平面内，一般位置的四条直线有六个交点；

（9）含于半圆内的圆周角是直角；

（10）如果直线AB与CD相交，则AC与BD相交;

（11）二次曲线的中心；

（12）德萨格定理.

分析：

判定一个图形或定理属于哪一中几何学研究的对象，主要根据图形或定理所涉及的不

变性和不变量来判定，例如涉及距离，线段或角的相等就属于欧氏几何学研究的范围，涉及

直线的平行、线段的比例、线段的中点等就属于仿射几何学研究的对象，而仅与点、线、面之结合关系有关的就属于射影几何学研究的对象了

（2）、（3）、（6）、（9）属于欧氏几何学；

（1）、（4）、（5）、（7）、（11）属于仿射几何学；

（8）、（10）、（12）属于射影几何学.

例3为什么向量的数量积的概念在仿射几何里不存在？

因为二向量u,V的数量积为：

UV=|uIVcos（u,v）

而在仿射变换下，向量的长度和夹角都要改变，故向量的数量积概念在仿射几何里不存在。

第五章二次曲线的射影理论

本章是应用前面学习的射影变换和仿射变换的知识，来研究二次曲线的性质的。

在射影

平面上取定坐标系后，首先给出二阶（级）曲线的代数法定义，阐明其几何意义之后，给出二阶（级）曲线的射影定义，并研究二阶（级）曲线在射影变换下的不变性质。

然后基于射影变换的基本不变性质（结合性）和不变量（交比），反映在二阶（级）曲线上，证明了两

个著名的定理巴斯卡定理和布利安香定理，这两个定理是相互对偶的。

在此基础上，定

义了二阶（级）曲线的极点和极线概念，导出了其求法。

在研究二次曲线的性质时对偶原理起着重要的作用。

根据对偶原理，在射影平面内可将

二次曲线看作点曲线（二阶点列），称为二阶曲线。

也可以将曲线看作直线的包络，也就是看作是线曲线（二级线束），称为二级曲线，统称二次曲线。

因此，对于二阶曲线的每一性质，都可以对偶地得出二级曲线的对偶性质。

这