山东数学与应用数学本科毕业范文逆矩阵及其应用Word文件下载.docx
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关键词
矩阵,逆矩阵,广义逆矩阵,
论文(设计)题目的来源、理论和实践意义:
论文题目的来源:
自选题目
论文(设计)的主要内容及创新点:
主要内容:
主要创新点:
附:
本人签名:
年月日
中文摘要……………………………………………………………1
英文摘要……………………………………………………………1
一、引言……………………………………………………………2
二、矩阵逆的定义……………………………………………………2
三、可逆矩阵的性质……………………………………………2
四、矩阵可逆的判定方法……………………………………………2
五、矩阵逆的求法……………………………………………………3
六、矩阵逆的应用……………………………………………………12
七、逆矩阵求某些函数的不定积分…………………………………13
八、矩阵逆的推广……………………………………………………14
参考文献………………………………………………………………16
摘要:
本文首先给出矩阵可逆的定义、性质,其次探讨矩阵可逆的判定方法、逆矩阵的求法以及逆矩阵求不定积分,矩阵可逆的应用,特别是在编码、解码方面的应用.最后,本文对可逆矩阵进行了相应的推广.
关键词:
矩阵矩阵的逆广义逆矩阵
中图分类号:
O151.21
Theinversematrixanditsapplication
Abstract:
Thispaperpresentsthedefinitionandpropertiesofinversematrix,thendiscussesthemethodabouthowtoidentifyinversematrixandhowtoevaluateit.Next,thispaperdiscusseshowtoevaluateindefiniteintegralbyinversematrixandtheapplicationofinversematrix,especiallyitsapplicationintheencoding,decoding.Finally,thisthesisgeneralizesinversematrix.
Keywords:
MatrixInversematrixGeneralizedinversematrix
一:
引言
矩阵是现代数学的一个强有力的工具,应用非常广泛,逆矩阵又是矩阵理论的一个非常重要的概念,文章主要是对矩阵的可逆性由来及定义、性质、判定方法、应用进行探讨.目的在于改进教学,促进学生的学习,提高教育教学质量,让学生了解逆矩阵的应用.
二:
矩阵逆的定义
引入矩阵的逆这个概念:
对于n矩阵A,如果有一个n矩阵B,使得AB=BA=E,E为单位矩阵则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵,A的逆矩阵记为A.
三:
可逆矩阵的性质
1、若矩阵A、B均可逆,则矩阵AB可逆,其逆阵为BA,当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆.
2、若A可逆,则也可逆,且=A;
3、若A可逆,数,则可逆,且;
4、若A可逆,则也可逆,且.
5、.
6、矩阵的逆是唯一的,
证明:
运用反证法,如果A是可逆矩阵,假设B,C都是A的逆,则有AB=BA=E=AC=CAB=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C(与BC矛盾),所以是唯一的.
四:
矩阵可逆的判定方法
矩阵可逆有如下若干充要条件:
(A为n阶方阵)
1、存在B为n阶方阵,使得AB=I;
2、对于PAQ=,其中r(A)=n;
3、;
4、A的行向量组线性无关;
5、A的列向量组线性无关;
6、A可表示成一系列初等矩阵的乘积;
7、A可经过一系列初等行变换化成单位矩阵I;
8、A可经过一系列初等列变换化成单位矩阵I;
9、对于齐次线性方程组AX=0只有零解;
10、是非奇异矩阵.
五:
矩阵的逆的求法
(一).定义法
定义设A是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB=E,那么A称为可逆j矩阵,B称为A的逆矩阵,记为.
例1.求矩阵的逆矩阵.
解:
因为≠0,所以存在.设
由定义知A=E,
所以=.
由矩阵乘法得
=.
由矩阵相等可解得;
;
.
故
(二).伴随矩阵法
定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且,其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.
矩阵称为矩阵A的伴随矩阵,记作A*,于是有
A-1=A*.
注释①对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A*=(Aji)n×
n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵,其伴随矩阵,即伴随矩阵具有“主对角元素互换,次对角元素变号”的规律.
②对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵.
例2:
已知,求A-1.
解:
∵=2≠0
∴A可逆.由已知得
A-1=A*=
(三).行(列)初等变化法
设n阶矩阵A,作n×
2n矩阵,然后对此矩阵施以行初等变换,若
把子块A变为,则子块将变为,即初等行变换[E,A-1].
注①对于阶数较高(n≥3)的矩阵,采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时,只允许施行初等行变换.
②也可以利用求得A的逆矩阵.
③当矩阵A可逆时,可利用
求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变换,即求出了A-1B或CA-1.
例3:
:
用初等行变换求矩阵的逆矩阵.
解:
(四).用分块矩阵求逆矩阵
设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵,则:
例4:
将A分块如下:
其中
可求得
(五).解方程组求逆矩阵
根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;
又由A-1A=E两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.
例5:
求的逆矩阵.
设,先求A-1中主对角线下的次对角线上的元素,再求,最后求.设E为4阶单位矩阵,比较
的两端对应元素,得到
元素,再求,最后求.设E为4阶单位矩阵,比较
于是,所求的逆矩阵为:
(六).用克莱姆法则求解
若线性方程组的系数行列式,则此方程组有唯一的一组解.这里是将中的第i列换成得到的行列式.
例6:
求可逆矩阵的逆矩阵.
矩阵A的行向量为,由标准基表示为:
解以为未知量的方程组得:
(七).恒等变形法求逆矩阵:
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.
例7:
已知,试求并证明,其中.
由得到故,而A
又为正交矩阵,从而
(八).用Hamilton-Caley定理求逆矩阵
Hamilton-Caley定理:
设A是数域P上的n阶矩阵为A的特征多项式,则:
于是
因此
例8:
A的特征多项式
由Hamilton-Caley定理知:
(九).三角矩阵的一种求逆法
定理:
如果n阶矩阵可逆,
那么他的逆矩阵是
其中
例9:
求上三角阵的逆矩阵.
由定理知:
(十).拼接新矩阵:
在可逆矩阵A的右方补加上一个单位矩阵E,在A的下方补加上一个负单位矩阵-E,再在A的右下方补加上一个零矩阵O,从而得到一个新的方阵.对该方阵施行第三种行的初等变换,使其负单位矩阵-E化为零矩阵,那么原来的零矩阵O所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵A-1.
例10:
求矩阵的逆矩阵A-1.
构造矩阵有:
将第一行依次乘以-2,-3和1,分别加到第二行、第三行和第五行,
得:
将第二行依次乘以-1和1,分别加到第三行和第四行,
再将第三行依次乘以-3、2和-1,分别加到第四行、第五行、第六行,
故:
(十一).和化积法
有的问题要判断方阵之和A+B的非奇异性并求其逆矩阵,此时可将A+B直接化为(A+B)C=E,由此得A+B非奇异,且=C;
或将矩阵之和A+B表示为若干已知的非奇异阵之积,并可得其逆矩阵.
例11.证明:
若=0,则E-A是非奇异的,并求.
证明
且=.
六:
矩阵逆的应用(主要在编码、解码方面)
矩阵密码法是信息编码与解码的技巧,其中的一种是基于利用可逆短阵的方法.先在26个英文字母与数字间建立起一一对应,例如可以是
AB……YZ
………………
12……2526
若要发出信息“SENDMONEY”,使用上述代码,则此信息的编码是19,5,14,4,13,l5,14,5,25,其中5表示字母E.不幸的是,这种编码很容易被别人破译.在一个较长的信息编码中,人们会根据那个出现频率最高的数值而猜出它代表的是哪个字母,比如上述编码中出现次数最多的数值是5,人们自然会想到它代表的是字母E,因为统计规律告诉我们,字母E是英文单词中出现频率最高的.
我们可以利用矩阵乘法来对“明文”SENDMONEY进行加密,让其变成“密
文”后再行传送,以增加非法用户破译的难度,而让合法用户轻松解密.如果一
个矩阵A的元素均为整数,而且其行列式=1,那么由即知,
的元素均为整数.我们可以利用这样的矩阵A来对明文加密,使加密之后的密文
很难破译.现在取
A=
明文“SENDMONEY”对应的9个数值按3列被排成以下的矩阵
B=
矩阵乘积
AB=
对应着将发出去的密文编码:
43,105,81,45,118,77,49,128,93
合法用户用A1去左乘上述矩阵即可解密得到明文.
为了构造“密钥”矩阵A,我们可以从单位阵I开始,有限次地使用第三类初
等行变换,而且只用某行的整数倍加到另一行,当然,第一类初等行变换也能使
用.这样得到的矩阵A,其元素均为整数,而且由于=1可知,的元素必
然均为整数.
七:
逆矩阵求某些函数的不定积分
利用逆矩阵求不定积分的具体方法:
1)根据所求函数的不定积分,构造一个由基生成的子空间W=,并且W在求导变换D/W下是封闭的;
2)求D/W在基下矩阵A=;
3)根据高等代数知识,求逆矩阵,则就是逆变换在基下的矩阵;
4)根据的第j列元素写出=,j=1,2,3,4,5,6,…,n
于是得出所求积分=+C,j=1,2,3,4,…n
例:
求定积分
选定子空间W=L(),则W是求导变换D/W的不变子空间,且是W的一组基,且
5,其中是任意常数.
4,其中是任意常数.
=
,其中C是任
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- 山东 数学 应用 本科毕业 范文 矩阵 及其