数学模型练习.docx
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数学模型练习
《数学模型》
考试题型
填空题(16分)(基本概念)
简答题(24分)(基本概念)
计算题(60分)(基本计算)
复习重点章节:
Ch1.建立数学模型(基本概念)
§1数学建模的背景及重要意义;
§2模型和数学模型的概念;
§3数学建模的流程图、基本方法和步骤;
§4数学模型的分类与特点;
Ch2.初等模型(基本计算)
§10量纲分析与无量纲化;
Ch3.简单的优化模型(基本概念)
§1存储模型
§2生猪的出售时机;
Ch4.数学规划模型(基本计算)
§1奶制品的生产与销售;
Ch5.微分方程模型(基本概念及计算)
§1传染病模型;
§3正规战与游击战
Ch6.稳定性模型(基本概念及计算)
§1捕鱼业的持续收获;
§2军备竞赛
Ch7.差分方程模型(基本计算)
§1市场经济中蛛网模型
Ch8.离散模型(基本概念)
§1层次分析模型;
§2循环比赛的名次
Ch9.概率模型(基本概念)
§1传送系统的效率;
§2报童的诀窍;
§3随机存贮策略;
典型题型
1.建立数学模型的基本步骤为:
模型准备、、
、、、模型应用等.
2.数学模型按照应用领域分类的数学模型名称有:
人口模型、水资源模型、、、等.
3.每对顶点之间都有一条边相连的称为竞赛图.4个顶点的竞赛图共有种形式.
4.求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法有:
、、.
5.写出5个按照建模目的分类的数学模型名称.
6.写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称以及5个按照应用领域分类的模型名称.
答:
按数学方法分类:
初等模型,几何模型,微分方程模型,统计回归模型,数学规划模型
7.有4支球队A、B、C、D进行单循环赛,比赛结果是这样的:
A胜B和C,B胜C和D,C胜D,D胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵.它是否为双向连通图?
并给出这4支球队的名次.
答:
这4支球队的竞赛图对应的邻接矩阵为
,它是双向连通的.;
令
,分别计算
.从而可得这4支球队A、B、C、D的名次为{(A,B),(D,C)}
8.基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素,拟用层次分析法在电影A、电影B、电影C这三个方案中选一个,画出目标为“评选影片”的层次结构图.
9..写出数学建模过程的流程图
(10)开普勒第三定律可由万有引力定律得到.设行星运行的周期
与其椭圆轨道长半轴
、太阳与行星的质量
、万有引力常数
有关,试用量纲分析方法给出行星运行周期
的表达式.(万有引力定律公式为:
)
解:
设
的关系为
=0.其量纲表达式为
,
,
,
=
其中
,
,
是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组Ay=0,即
的基本解为
由量纲
定理得
.
,其中
是无量纲常数.
10.雨滴的速度
与空气密度
、粘滞系数
、特征尺寸
和重力加速度
有关,其中粘滞系数的定义是:
运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比,比例系数为粘滞系数,用量纲分析方法给出速度
的表达式.
解:
设
,
的关系为
.
其量纲表达式为
[
]=LM0T-1[
]=L-3MT0[
]=L-1MT-1[
]=LM0T0[
]=LM0T-2
其中L,M,T是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组Ay=0即
的基本解为
得到两个相互独立的无量纲量
即
.由
得
其中
是未定函数.
11.某糕点厂生产两种糕点产品:
精制糕点和普通糕点,已知每千克精制和普通糕点的原料(面粉、糖、蛋)和利润如下表:
品种
面粉(千克)
糖(千克)
蛋(千克)
利润(千元)
精制
0.1
0.2
0.3
0.3
普通
0.3
0.2
0.1
0.2
已知库存面粉、糖、蛋分别为15千克、12千克和15千克.假设生产的糕点可以全部卖掉,试决定生产精制糕点和普通糕点的产量,使厂商获得的利润最大.
解:
为方便起见,设精制糕点和普通糕点的产量分别为10
千克和10
千克,糕点的利润为
(千元),由题意得此问题的数学模型为:
s.t.
模型的求解:
用图解法.可行域为:
由直线
组成的凸五边形区域.
直线
在此凸五边形区域内平行移动.易知:
当
过
的交点时,
取最大值.由
解得:
,
(千元).
故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克,糕点的利润为16.5(千元).
(11)一食品加工厂用牛奶生产
两种产品,1桶牛奶可以在甲设备上有12小时加工成3公斤
,或者在乙设备上有8小时加工成4公斤
,每公斤
获利24元,每公斤
获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应,每天工人总的劳动时间为480个小时,并且甲设备每天至多能加工100公斤
,而乙设备的加工能力没有限制.试为该厂制订一个生产计划,使每天获利最大.
12.已知某商品在
时段的数量和价格分别为
和
,其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为
和
.试建立关于商品数量的差分方程模型,并讨论稳定平衡条件.
解:
已知商品的需求函数和供应函数分别为
和
.
设曲线
和
相交于点
,在点
附近可以用直线来近似表示曲线
和
:
--------------------
(1)
-------------------
(2)
由
(2)得
--------------------(3)
(1)代入(3),可得
,--------------(4)
上述(4)式是我们所建立的差分方程模型,且为二阶常系数线性非齐次差分方程.
为了寻求
点稳定平衡条件,我们考虑(4)对应的齐次差分方程的特征方程:
容易算出其特征根为
---------------(5)
当
8时,显然有
-----------(6)
从而
2,
在单位圆外.下面设
,由(5)式可以算出
要使特征根均在单位圆内,即
,必须
.
故
点稳定平衡条件为
.
(12).已知某商品在
时段的数量和价格分别为
和
,其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为
和
.试建立关于商品价格
的差分方程模型,并讨论稳定平衡条件.
解:
已知需求函数和供应函数分别为
和
.
设曲线
和
相交于点
,在点
附近可以用直线来近似表示曲线
和
:
(1)
(2)
从上述两式中消去
可得
,(3)
上式是我们所建立关于商品价格
的差分方程模型,且是二阶线性常系数差分方程.
为了寻求
点稳定平衡条件,我们考虑(3)对应的特征方程
容易算出其特征根为
---------------(4)
当
3时,显然有
-----------(5)
从而
1,
在单位圆外.下面设
,由(5)式可以算出
.要使特征根均在单位圆内,即
,必须
.
故
点稳定平衡条件为
.
13.设某渔场鱼量
(时刻
渔场中鱼的数量)的自然增长规律为:
其中
为固有增长率,
为环境容许的最大鱼量.而单位时间捕捞量为常数
.
(1).求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;
(2).试确定捕捞强度
使渔场单位时间内具有最大持续产量
并求此时渔场鱼量水平
.
解:
(1).
变化规律的数学模型为
记
令
,即
----
(1)
,
(1)的解为:
1当
时,
(1)无实根,此时无平衡点;
②当
时,
(1)有两个相等的实根,平衡点为
.
,
不能断定其稳定性.
但
及
均有
,即
不稳定;
③当
时,得到两个平衡点:
,
易知
,
,
平衡点
不稳定,平衡点
稳定.
(2).最大持续产量的数学模型为:
即
,易得
此时
,但
这个平衡点不稳定.
要获得最大持续产量,应使渔场鱼量
且尽量接近
但不能等于
.
(13)试求Gompertz模型:
的非零平衡点,并讨论其稳定性.
(P178页)其中
和
的意义与Logistic模型相同
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型,又单位捕捞量为
.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量
及获得最大产量的捕捞强度
和渔场鱼量水平
(.
)
解:
(1)
变化规律的数学模型为
记
,令
,即
=0
得到两个平衡点:
(如图所示)
,
可证
稳定,
不稳定
(与E,r的大小无关).Ex
,ox
N
(2)最大持续产量的数学模型为:
maxh=Ex
s.t.
由
,得E
,故最大持续产量
此时捕捞强度E
,渔场鱼量水平
.
(记
令
,得
非零平衡点为
.又
,
.
平衡点
是稳定的.)
.
14.考虑某地区传染病问题,设该地区人口总数为
,既不考虑生死,也不考虑迁移,时间以天为单位.将人群分为健康人和病人,在时刻
这两类人在总人数中所占比例分别记作
和
,又设每个病人每天有效接触的平均人数是
.试建立描述
变化的数学模型,并作出
图形.
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