高考数学一轮复习第十二章概率随机变量及其概率分布126离散型随机变量的均值与方差理文档格式.docx
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(1)E(aX+b)=aE(X)+b.
(2)V(aX+b)=a2V(X).(a,b为常数)
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布,则E(X)=__p__,V(X)=p(1-p).
(2)若X~B(n,p),则E(X)=__np__,V(X)=np(1-p).
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.( √ )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量的平均程度越小.( √ )
(3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时,期望值也增大.( ×
)
(4)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关.( ×
1.(教材改编)某射手射击所得环数ξ的概率分布如下:
ξ
7
8
9
10
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)=8.9,则y的值为________.
答案 0.4
解析 由
可得y=0.4.
2.(2014·
陕西改编)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为__________.
答案 1+a,4
解析 =1,yi=xi+a,所以y1,y2,…,y10的均值为1+a,方差不变仍为4.
3.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(k=2,4,6,8,10),则V(X)=________.
答案 8
解析 ∵E(X)=(2+4+6+8+10)=6,
∴V(X)=[(-4)2+(-2)2+02+22+42]=8.
4.(2014·
浙江改编)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则V(ξ)=________.
答案
解析 设P(ξ=1)=a,P(ξ=2)=b,
则解得
所以V(ξ)=+×
0+×
1=.
5.(教材改编)抛掷两枚骰子,当至少一枚5点或一枚6点出现时,就说这次试验成功,则在10次试验中成功次数的均值为________.
解析 抛掷两枚骰子,当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为×
=,所以至少有一次出现5点或6点的概率为1-=,用X表示10次试验中成功的次数,则X~B(10,),E(X)=10×
=.
题型一 离散型随机变量的均值、方差
命题点1 求离散型随机变量的均值、方差
例1 (2015·
福建)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;
否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的概率分布和均值.
解
(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,
则P(A)=×
×
(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.
又P(X=1)=,P(X=2)=×
=,P(X=3)=×
所以X的概率分布为
1
2
3
所以E(X)=1×
+2×
+3×
命题点2 已知离散型随机变量的均值与方差,求参数值
例2 设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:
取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.
(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的概率分布;
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)=,V(η)=,求a∶b∶c.
解
(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6.
故P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==,P(ξ=5)==,
P(ξ=6)==.
所以ξ的概率分布为
4
5
6
(2)由题意知η的概率分布为
η
所以E(η)=++=,
V(η)=2·
+2·
=.化简得
解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.
命题点3 与二项分布有关的均值与方差
例3 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值;
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布及均值E(ξ).
解
(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么
1-P()=1-·
p=,解得p=.
(2)由题意,得P(ξ=0)=3=,
P(ξ=1)=C×
2=,
P(ξ=2)=C×
2×
=,
P(ξ=3)=3=.
所以,随机变量ξ的概率分布为
故随机变量ξ的均值
E(ξ)=0×
+1×
(或∵ξ~B(3,),∴E(ξ)=3×
=.)
思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略
(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布,然后利用均值、方差公式直接求解.
(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程,解方程即可求出参数值.
(3)由已知条件,作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义,对实际问题作出判断.
(1)(2014·
山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:
回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;
对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:
①小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;
②两次回球结束后,小明得分之和ξ的概率分布与均值.
解 ①记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),
则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=.
记Bj为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为j分”(j=0,1,3),
则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=.
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”.
由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,
由事件的独立性和互斥性,得
P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)
=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)
=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)
=×
+×
所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为.
②由题意,得随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,
P(ξ=0)=P(A0B0)=×
P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)
P(ξ=2)=P(A1B1)=×
P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)
P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)
P(ξ=6)=P(A3B3)=×
可得随机变量ξ的概率分布为
所以均值E(ξ)=0×
+4×
+6×
(2)(2014·
辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
①求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
②用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的概率分布,均值E(X)及方差V(X).
解 ①设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此
P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×
50=0.6,
P(A2)=0.003×
50=0.15,
P(B)=0.6×
0.6×
0.15×
2=0.108.
②X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为
P(X=0)=C(1-0.6)3=0.064,
P(X=1)=C·
0.6(1-0.6)2=0.288,
P(X=2)=C·
0.62(1-0.6)=0.432,
P(X=3)=C·
0.63=0.216,
可得随机变量X的概率分布为
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X~B(3,0.6),所以均值E(X)=3×
0.6=1.8,
方差V(X)=3×
(1-0.6)=0.72.
题型二 均值与方差在决策中的应用
例4 (2014·
湖北)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:
一年内上游来水与库区降水之和.单位:
亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X
40<
X<
80
80≤X≤120
X>
120
发电机最多可运行台数
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;
若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
解
(1)依题意,得p1=P(40<
80)==0.2,
p2=P(80≤X≤120)==0.7,
p3=P(X>
120)==0.1.
由二项分布,在未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率为
p
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- 高考 数学 一轮 复习 第十二 概率 随机变量 及其 分布 126 离散 均值 方差
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