最新微积分基本定理推荐word版 14页Word格式.docx
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af(x)dx=F(b)-F(a)
若上式成立,我们就找到了用f(x)的原函数(即满足F'
(x)=f(x))的数值差F(b)-F(a)来计算f(x)在[a,b]上的定积分的方法。
注:
1:
定理如果函数F(x)是[a,b]上的连续函数f(x)的任意一个原函数,则
baf(x)dx=F(b)-F(a)-1-
篇二:
微积分基本定理典型例题解析
一、填空题
⒈设G(x)?
x2a
sintdt,则G?
(x)?
.
解:
G?
sin(x2)?
(x2)?
2xsinx2.⒉
4-4
x2dx?
由定积分的几何意义,此积分计算的是圆x2?
y2?
42的上半部,故结果为8?
.3.
15
(x?
2x?
)dx?
.?
-a
2
a
5
由定积分的性质和奇偶函数在对称区间的性质得
aaa115
-a(x?
2)dx?
-axdx?
-a2xdx?
-a2x
a1a
0?
2?
x?
dx?
020
二、单项选择题
db2
(lntdt)?
().⒈
x
xdb2d
(?
lntdt)?
ln2tdt)?
ln2x,故选项D正确.
bdxxdx
⒉由曲线y?
f(x),y?
g(x)及直线x?
a,x?
b(a?
b)所围成的平面图形面积的
A.2lnx;
B.lnt;
C.lnxD.?
lnx解:
222
计算公式是().A.
C.
baba
(f(x)?
g(x))dx;
B.g(x)?
f(x)dx;
D.
ba
(g(x)?
f(x))dx;
g(x))dx
A,B选项的积分可能出现负值,而D选项虽非负,但面积可能被抵消,故选项C正确.
3.下列广义积分中,()收敛.
1111?
11
dxdxdx;
B.;
C.;
D.?
1x2?
0x2?
0xdx?
1x?
111
dx,当p>
1时积分收敛;
对于?
pdx,当p<
1时积分收敛。
故选项解:
10xxp
A.
A正确.
三、计算题⒈计算下列积分:
⑴
+?
edxdx⑵⑶lnxdx?
04?
x2?
1x2(1?
x2)?
11
⑴将被积函数作变换
1
dx1dx11104?
0(2?
x)(2?
x)?
(2?
12?
x)dx1
4ln
4
ln3⑵由分部积分法得
e
xlnxe
lnxd1?
xd(lnx)?
e?
⑶将被积函数作变换
1x2(1?
x2)?
1(111x2?
1?
x2
arctanx)1
.
⒉设F(x)?
(9t2?
2t?
4)dt,求F?
(x),F(0),F
(1),F
(2).
利用变上限定积分的结果得F?
9x2?
4计算得
F(x)?
20
4)dt?
(3t3?
t?
4t)x
3x3?
4x
由此得
F(0)?
0,F
(1)?
6,F
(2)?
28⒊求由曲线y?
y?
12x?
2和OX
所求平面图型如图所示,设此面积为S,有
S?
1(12x?
0)dx?
10(12x?
12
)dx
23
(
x4?
2?
142303
也可计算为S?
3
[y?
(2y?
1)]dy?
(2y2
3?
y?
y)?
0
32
篇三:
高考数学总复习:
定积分与微积分基本定理
定积分的性质
(1)
(2)
(3)
(4)利用函数的奇偶性求积分:
若函数若函数
在区间在区间
(其中
(为常数),
,
),
上是奇函数,则上是偶函数,则
;
.
如果则
的一个原函数.由
于也是
的原函数,其中c为常数.
上的改变
量
.因此,微积分基本定理可以写成形式
:
,且
在,其
中
上连续,
叫
做
一般地,原函数
在
简记
作
说明:
求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.由此,求导运算与求原函数运算互为逆运算.
定积分的几何意义
设函数
在区间上,当
上连续.时,定积分
在几何上表示由曲线
以及直线
与轴围成的曲边梯形的面积;
上,当
时,由曲线
与轴围成的曲边梯形
位于轴下方,定积分
在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;
在条直线
上,当既取正值又取负值时,定积分的几何意义是曲线,两
与轴所围成的各部分面积的代数和.在轴上方的面积积分时取正号,在
轴下方的面积积分时,取负号.
应用
1.如图,由三条直线
轴(即直线
)及一条曲线;
)围成的曲边梯形的面积:
2.如图,由三条直线
),围
成
的,
曲
边
梯
)及一条曲线
形
的
面
积
3.
如图,由曲线图形的面积公式为:
及直线
,.
围成
4.利用定积分求平面图形面积的步骤:
(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像;
(2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限;
(3)写出定积分表达式;
(4)求出平面图形的面积.
A、
B、1C、
D、
2、由曲线y=x,y=x围成的封闭图形面积为()
B、C、
3、已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V已(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是()
A、在t1时刻,甲车在乙车前面B、t1时刻后,甲车在乙车后面C、在t0时刻,两车的位置相同D、t0时刻后,乙车在甲车前面
4、由曲线xy=1,直线y=x,y=3所围成的平面图形的面积为
B、2﹣ln3C、4+ln3
D、4﹣ln3
5、从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为()
B、
C、
6、如图中阴影部分的面积是()
7、由曲线
y=8、9、
,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为()B、4C、
D、6
(e+2x)dx等于()A、1
B、e﹣1C、e
D、e+1
dx等于()A、﹣2ln2
B、2ln2C、﹣ln2
D、ln2
10、已知则∫﹣acosxdx=(a>0),则∫0cosxdx=()
A、2
B、1C、D、
11、曲线y=x+2与直线y=3x所围成的平面图形的面积为()
k
12、若∫0(2x﹣3x)dx=0,则k等于()A、0B、1C、0或1D、以上均不对
13、如图所示,曲线y=x和曲线
y=围成一个叶形图(阴影部分),其面积是()
A、1
B、C、D、
14、由曲线y=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积为15、由曲线
和直线y=x﹣4,x=1,x=2围成的曲边梯形的面积
是_________.
16、从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分部分的概率为_________.17、设函数f(x)=ax+c(a≠0),若x0的值为_________.18.设f(x)=x-
,0≤x0≤1,则
x-2x+5,当x∈[-1,2]时,f(x)<
m恒成立,则实数m的2
取值范围为。
19.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1时有极值10,那么a,b的值分别为________。
42
20.已知f(x)=ax+bx+c的图象经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)求y=f(x)的单调递增区间。
21
.平面向量a=-1),b=(,若存在不同时为0的实数k和t,使
22
x=a+(t-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试确定函数k=f(t)的单调区间。
22.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-
(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<
c2恒成立,求c的取值范围。
与x=1时都取得极值3
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