中考数学专题复习 数学思想方法与新题型解析 新课标 首师大版Word文档下载推荐.docx
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求m的值。
分析:
本题中涉及三个未知数,需列出三个方程,题目中已给出了一个关于的方程,那么只需再找出两个关于和m的方程即可。
解法1依题意,得
说明:
一般地,有几个未知数,则需列几个方程。
例2.如图,在直角三角形ABC中,,AD是的角平分线,DE//CA,已知CD=12,BD=15,求AE、BE的长。
题目要求AE、BE这两个未知数的值,由于DE//CA,并且DC=12,BD=15,容易得到,得到关于BE、EA的一个方程。
而题目中有两个未知数,还需要再建立一个关于BE、EA的方程。
由条件易知,ABC和EBD都是直角三角形,由AD是角平分线和DE//CA可以证明AE=ED,这样就把AE、EB集中在RtEDB中,用勾股定理可再列一个方程。
解:
设AE为x,BE为y,那么
2.方程思想解题的核心——构造方程,沟通已知与未知的联系
用方程思想解题的核心是揭示题目中隐含的等量关系,设未知数、构造方程,沟通已知与未知的联系,从而使问题得到解决。
例3.已知:
如图,DB是半圆O的直径,A为BD延长线上一点,AC与半圆O相切于点E,,
若,求⊙O半径。
题目的条件给我们提供了许多等量关系。
已知CB垂直直径DB,可知CB是⊙O的切线,于是有CE=CB;
由切割线定理得;
在中,由勾股定理得。
题目又给出了两条线段的比,则可设未知数,寻找等量关系,构造方程。
若设,则根据上面的等量关系易得。
以为等量关系构造方程:
解略
问:
题目要求⊙O半径,能否直接设所求量为未知数呢?
这时,应以哪个等量关系来构造易解的方程,从而求出半径的长呢?
进一步分析可以看到,由,可知,即。
连结OE(如图),则。
,把它作为等量关系构造方程:
解得,从而求出半径长为。
从本例的两种不同解法可看到,列方程的关键是寻求等量关系。
在几何计算题中,常利用几何中的定理、公式,如勾股定理、切割线定理、相交弦定理、三角函数关系式等作为等量关系来构造方程,或利用图形中某些位置关系所隐含的等量关系(线段和差、面积和差、相似三角形对应边成比例)等构造方程。
下面我们把此例的已知条件稍加变化,分析如何寻找等量关系构造方程求解。
例4.如图,DB是半圆O的直径,A为BD延长线上一点,AC与半圆O相切于点E,。
若,求的面积。
要求的面积,只要求出AB、BC的长即可。
题目中给出了线段比,可利用比值设未知数,把其它线段用此未知数表示出来,寻找等量关系,构造方程。
此题解法很多,仅举其中一种解法。
简解:
可证CB为半圆O的切线,CE=CB
于F,可得
此例是利用勾股定理作为等量关系构造方程的。
由以上几例可以看出,设未知数一般是所求的量是什么,就设什么为未知数。
当所求的量不易直接求出时,要根据题目的特点,选择便于把条件、结论结合起来的未知量用字母表示为未知数,这样解题比较方便。
例5.已知:
在中,AD为BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且B=CAE,FE:
FD=4:
3。
(1)求证:
AF=DF;
(2)求AED的余弦值;
(3)如果BD=10,求的面积。
图1
(1)略;
(2)要求AED的余弦值,首先要使AED为一个直角三角形的内角,所以可连DM,构造,也可过点A作于点N,构造。
无论利用哪个直角三角形,都需知该直角三角形中两条边的长。
题目给出了线段比,可利用比例设未知数,再把其它线段用此未知数表示出来。
这时就需利用几何中的定理或图形的性质为等量关系,构造方程。
本题的解法很多,仅举其中四种解法。
(3)利用BD=10,可求出所设未知数的值,易求出的面积。
(1)证明:
(2)解法一:
连结DM(如图2)
由勾股定理,得
图2
图3
解法四:
同解法三,得AE=DE=5x,AF=DF=3x
此例是用方程思想解几何问题的典型题目。
第
(2)问中解法一是利用切割线定理为等量关系构造方程;
解法二是利用勾股定理为等量关系构造方程组;
解法三是利用同一三角形面积为等量关系构造方程;
解法四是利用相似三角形对应边成比例构造方程。
可见,方程思想的运用是解本题的关键。
例6.如图,AB为半圆O的直径,C为OB上一点,且OC:
CB=1:
3,过C点作交半圆于D点,过D点作半圆O的切线交AB延长线于E点,若BE=12
(1)求OB的长;
(2)在弧BD上任取一点P(P与B、D不重合),连结EP并延长与弧AD交于点F,设PC=x,EF=y,求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围。
第
(1)问是求线段的长,由于题目中给出了两条线段长度的比,所以可以设未知数,利用图形的几何性质构造方程来求解。
第
(2)问涉及研究线段与线段函数关系的问题,线段作为变量,解题的关键是用几何定理揭示它们之间的等量关系,列出方程后,再化为函数解析式。
实质上还是构造方程,利用方程思想解题。
(1)连结OD,设OC=a,则BC=3a,OD=OB=4a
此例是利用相似三角形对应边成比例的性质为等量关系,列出方程后,再化为函数解析式的。
特别要注意用图形的几何性质来确定自变量的取值范围。
方程思想也可解决某些证明题。
我们来看下面的例题。
例7.如图,⊙O1、⊙O2交于A、B两点,DT切⊙O2于T,交⊙O1于D、M,且M为DT的中点。
BA的延长线交DT于C。
求证:
CT=2CM。
证明:
设CM=a,CT=x
可以看到,方程思想是初中数学中的一个重要的数学思想,在解题中有广泛的应用。
利用方程思想解题,要善于从题目中挖掘等量关系,能够根据题目的特点选择恰当的未知数,注意保证方程的个数与未知数的个数相同。
(二)数形结合思想
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。
“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念,每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系;
而数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述,所以数形结合也就成为研究数学问题的重要思想方法。
数形结合的思想,就是把问题中的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想。
在解题方法上,“数”与“形”相互转化,从而使问题化难为易、化繁为简,达到解决问题的目的。
1.以形助数——通过几何图形,使数量关系直观化、形象化,从而寻找解题的途径
例1.在正方形ABCD中,A、B、C的坐标分别是(1,2)、(-2,1)、(-1,-2),求点D的坐标。
依题意画图,可看到点A、点C关于原点O成中心对称,所以O应是正方形ABCD的中心。
根据正方形性质可知,点D应与点B关于原点O对称,已知点B坐标为(-2,1),利用关于坐标原点对称的两点坐标之间关系,可确定点D坐标(2,-1)。
解略。
平面直角坐标系建立了平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系,为数形结合创造了条件。
本题就是利用直角坐标系,把“数”转化为“形”,以形助数,由两点之间的特殊位置关系得到两点之间的数量关系。
例2.选择题:
若为锐角,则sinA+cosA的值()
A.大于1B.等于1C.小于1D.不能确定
可构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义及三角形中边之间的关系进行判断。
本题是把数量关系通过构造的直角三角形使之明显化,从而得到解题途径。
例3.二次函数在同一坐标系中的图象如图。
(1)哪个函数的图象过B、C、D三点?
(2)若BO=AO,BC=DC,且点B、C的横坐标分别是1、3,求这两个函数的解析式。
借助函数的图象研究函数的性质,是一种很重要的方法。
观察图象,过A、B、C三点的抛物线开口向下,则相应二次函数解析式中二次项系数应小于零,而过B、C、D三点的抛物线开口向上,则相应二次函数解析式中二次项系数应大于零,所以只要判断a与a+1哪个大于零即可。
因为a+1>
a,易得出经过B、C、D三点。
利用抛物线的对称性确定的对称轴为x=0,的对称轴经过C点,则可推出D点坐标。
再利用图象上点的坐标应满足函数解析式,则可构造关于a、c的方程组,求出待定系数的值。
(1)
观察图形主要是观察图形的形状、大小、位置关系等,寻找图形中蕴含的数量关系,运用推理或计算得出结论。
这是数形结合分析、解决问题的一个重要方面。
例4.设二次函数的图象与x轴交于点A()、B()
(),P点在y轴上(非原点),已知PAB与PBA都是锐角。
(1)求k的取值范围;
(2)比较线段PA、PB的长度的大小;
(3)当PAB+PBA=90o时,求P点的坐标(用含k的式子表示)
(1)解决本题的关键是依据题目的已知条件正确地绘制草图,确定A、B两点的大致位置。
由P点在y轴上,且PAB、PBA都是锐角,确定抛物线与x轴的两个交点A、B必须在原点的两侧(如图),转化为与函数相应的二次方程的两根异号,则。
(2)观察图形,由图形的几何性质知,线段PA、PB长度的大小取决于A、B两点到O点距离的大小,则转化为判断相应的二次方程两根中正根的绝对值大还是负根的绝对值大。
利用函数所对应的一元二次方程根与系数的关系即可判断出来。
(3)利用,求出OP长,即可得出P点坐标。
解:
由本例看到,二次函数解析式中的系数与二次函数图象的形状及在坐标系中的位置相互制约。
正确地画出图象,把二次函数的问题转化为二次方程的问题是解决这类问题的典型方法,它体现了数形结合及转化的数学思想。
关于x的方程的两个实数根是,且。
如果关于x的另一个方程
之间,求m的值。
本题是已知一元二次方程的两个实数根所满足的条件,求方程中待定系数的值的题目。
常规的解法是由第一个方程两根满足的条件,利用根与系数的关系,建立关于待
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