中考数学火速出击28讲中考数学火速出击28讲第3讲 整式及因式分解Word格式文档下载.docx
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多项式
几个单项式的⑤叫做多项式.
项
多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
一个多项式中,⑥的项的次数叫做这个多项式的次数.
整式
单项式与⑦统称为整式.
同类项
所含字母⑧并且相同字母的指数也⑨的项叫做同类项.所有的常数项都是⑩项.
火点2整式的运算
整式的加减
合并同类项
1.字母和字母的指数不变;
2.⑪相加减作为新的系数.
添(去)括号
添(去)括号:
括号前面是“+”号,添(去)括号都⑫符号;
括号前面是“-”号,添(去)括号都要⑬符号.
幂的运算
同底数幂的乘法
am·
an=⑭.
注意:
a≠0,b≠0,
且m、n都为整数.
幂的乘方
(am)n=⑮.
积的乘方
(ab)n=⑯.
同底数幂的除法
am÷
an=
.
整式的乘法
单项式与单项式相乘
把它们的
、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的
作为积的一个因式.
单项式与多项式相乘
用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积
,即m(a+b+c)=
多项式与多项式相乘
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积
,即(m+n)(a+b)=
整式的除法
单项式除以单项式
把系数与同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的
作为商的一个因式.
多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式,然后把所得的商
乘法公式
平方差公式
(a+b)(a-b)=
完全平方公式
(a±
b)2=
定义
把一个多项式化成几个整式
的形式,就是因式分解.
方法
提公因式法
ma+mb+mc=
公式法
a2-b2=
;
a2±
2ab+b2=
步骤
1.若有公因式,应先
2.看是否可用
;
3.检查各因式能否继续分解.
火点3因式分解
【易错提示】因式分解必须分解到每一个多项式不能再分解为止.
【掌握火候】
1.求代数式的值主要用代入法,代入法分为直接代入法、间接代入法和整体代入法.
2.整式的运算时不要盲目入手,先观察式子的结构特征,确定解题思路,结合有效的数学思想:
整体代入、降次、数形结合、逆向思维等,使解题更加方便快捷.
【突破火点】
燃点1代数式及其求值
例1①若x+y=7,求
的值.
②若
,求(x2a﹣b)2a+b的值.
考点:
完全平方公式;
幂的乘方与积的乘方.
专题:
计算题.
分析:
①原式提取变形后,利用完全平方公式化简,将已知等式代入计算即可求出值;
②原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算即可得到结果.
解答:
解:
①∵x+y=7,
∴原式=(x2+y2+2xy)=(x+y)2=
②∵
=2,
=7,
∴原式=(
)4÷
=16÷
7=
点评:
此题考查了完全平方公式,熟练掌握公式是解本题的关键.
方法归纳:
求代数式的值时,常采用以下两种方法:
①应用整体代入求值;
②把已知的式子化为一个字母用另外的字母表示,代入所求代数式,进行化简求值.
燃点2整式的运算
例2(2017四川眉山)先化简,再求值:
(a+3)2﹣2(3a+4),其中a=﹣2.
【考点】4J:
整式的混合运算—化简求值.
【分析】原式利用完全平方公式化简,去括号合并得到最简结果,把a的值代入计算即可求出值.
【解答】解:
原式=a2+6a+9﹣6a﹣8=a2+1,
当a=﹣2时,原式=4+1=5.
进行整式的运算时,要先进行整式的乘法运算,再合并同类项,结果应为最简的,代入求值时,要注意整体添加括号.
燃点3因式分解
例3(2017内蒙古赤峰)分解因式:
xy2+8xy+16x= x(y+4)2 .
【考点】55:
提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】此多项式有公因式,应先提取公因式,再对余下的多项式进行观察,有3项,可采用完全平方公式继续分解.
xy2+8xy+16x
=x(y2+8y+16)
=x(y+4)2.
故答案为:
x(y+4)2.
因式分解,首先需观察有无公因式可提,然后再考虑是否可用公式法分解,直到分解到不能再分解为止.
【冰火不容】
1.(2017张家界)因式分解:
x3﹣x= x(x+1)(x﹣1) .
2.(2017江苏徐州)已知a+b=10,a﹣b=8,则a2﹣b2= 80 .
3.(2017浙江衢州)如图,从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙),则拼成的长方形的另一边长是 a+6 .
4.(2017•宁德)化简并求值:
x(x﹣2)+(x+1)2,其中x=﹣2.
5.下面是小颖化简整式的过程,仔细阅读后解答所提出的问题.
解:
x(x+2y)﹣(x+1)2+2x
=x2+2xy﹣x2+2x+1+2x第一步
=2xy+4x+1第二步
(1)小颖的化简过程从第 一 步开始出现错误;
(2)对此整式进行化简.
6.阅读下面的解答过程,求y2+4y+8的最小值.
y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4≥4,∵(y+2)2≥0即(y+2)2的最小值为0,
∴y2+4y+8的最小值为4.
仿照上面的解答过程,求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值.
7.千年古镇赵化开发的鑫城小区的内坝是一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地,物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分),中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的长方形),则绿化的面积是多少平方米?
并求出当a=3,b=2时的绿化面积.
8.已知a、b、c分别是△ABC的三边的长,且满足a2+b2+c2﹣ab﹣ca﹣bc=0.
求证:
△ABC是等边三角形.
(提示:
通过代数式变形和配成完全平方后来证明)
【展示火情】
因式分解-运用公式法.
分别利用完全平方公式分解因式得出即可.
①x2﹣10x+25=(x﹣5)2,符合题意;
②4a2+4a﹣1无法用完全平方公式因式分解;
③x2﹣2x﹣1无法用完全平方公式因式分解;
=﹣(m2﹣m+)=﹣(m﹣)2,符合题意;
无法用完全平方公式因式分解.
故选:
B.
此题主要考查了完全平方公式的应用,熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键.
①首先对括号内的式子利用完全平方公式以及平方差公式计算,合并同类项,然后进行整式的除法运算即可;
②首先利用多项式的乘法法则以及完全平方公式计算,然后合并同类项,最后把已知的式子化成x2﹣5x=14,代入求值即可.
①原式=(4x2y2﹣8xy+4﹣4+x2y2)÷
xy
=(5x2y2﹣8xy)÷
=20xy﹣32.
当x=﹣2,y=﹣0.5时,原式=20×
2×
0.5﹣32=20﹣32=﹣12;
②(x﹣1)(2x﹣1)﹣(x+1)2+1
=2x2﹣3x+1﹣x2﹣2x﹣1+1
=x2﹣5x+1
当x2﹣5x﹣14=0时,即x2﹣5x=14,
则原式=14+1=15.
本题主要考查完全平方公式以及平方差公式的利用,熟记公式并灵活运用是解题的关键.
①乘积②字母③数字④指数的和⑤和⑥次数最高⑦多项式⑧相同
⑨相同⑩同类⑪系数⑫不改变⑬改变⑭am+n⑮amn⑯anbn
am-n
系数
指数
相加
ma+mb+mc
ma+mb+na+nb
a2-b2
2ab+b2
乘积
m(a+b+c)
(a+b)(a-b)
(a±
b)2
提公因式
【分析】原式提取x,再利用平方差公式分解即可.
原式=x(x2﹣1)=x(x+1)(x﹣1),
x(x+1)(x﹣1)
【考点】4F:
平方差公式.
【分析】根据平方差公式即可求出答案.
∵(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,
∴a2﹣b2=10×
8=80,
80
【考点】4G:
平方差公式的几何背景.
【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解.
拼成的长方形的面积=(a+3)2﹣32,
=(a+3+3)(a+3﹣3),
=a(a+6),
∵拼成的长方形一边长为a,
∴另一边长是a+6.
a+6.
【专题】11:
计算题;
512:
整式.
【分析】原式利用单项式乘以多项式,以及完全平方公式化简,去括号合并得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值.
原式=x2﹣2x+x2+2x+1=2x2+1,
当x=﹣2时,原式=8+1=9.
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
【考点】4A:
单项式乘多项式;
4C:
完全平方公式.
【分析】
(1)注意去括号的法则;
(2)根据单项式乘以多项式、完全平方公式以及去括号的法则进行计算即可.
(1)括号前面是负号,去掉括号应变号,故第一步出错,
故答案为一;
(2)解:
=x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x
=2x
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