异面直线所成角直线与平面所成角二面角专题复习与提高Word格式.docx

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●练习提升

1．如图，E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（　　）

A．30°

　　　　　　　　　B．45°

C．60°

D．90°

答案：

C

2.已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成的角的正弦值为（　　）

A.　　　　　　　　　B.

C.D.

3.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°

，将菱形沿对角线AC

折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为（　　）

A.B.

A

4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是（　　）

A．15°

B．30°

C．45°

D．60°

B

5．如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°

，则AB与A1C1所成的角为________，AA1与B1C所成的角为________．

，

6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

（1）直线A1B与平面ABCD所成的角是________；

（2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；

（3）直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．

答案

（1）45°

（2）30°

　（3）90°

7．设直线与平面所成角的大小范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面直线所成角的大小范围为集合R，则P、Q、R的关系为（　　）

A．R＝P⊆Q　　　　　　B．R⊆P⊆Q

C．P⊆R⊆QD．R⊆P＝Q

8．设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝a，∠CBA＝∠CBD＝120°

，则AD与平面BCD所成角的大小为（　　）

B．45°

D．75°

解析：

作AO⊥CB交CB的延长线于O，连接OD，则OD即为AD在平面BCD内的射影，∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．

∵AO＝OD＝a，

∴∠ADO＝45°

.

9.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于A、B）且PA＝AC，则二面角P—BC—A的大小为（　　）

A．60°

C．45°

D．15°

答案C

10．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为（　　）

A．90°

B．60°

D．30°

∵AB∥CD，

∴面PAB与平面PCD的交线l必为过P点与AB平行的直线．

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥CD，又CD⊥AD，

∴DC⊥平面PAD，

∴DC⊥PD，

∴PA⊥l，PD⊥l，即∠APD为所求二面角的平面角，

∠APD＝45°

11．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：

①AC⊥BD；

②△ADC是正三角形；

③AB与CD成60°

角；

④AB与平面BCD成60°

角．则其中正确结论的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

取BD的中点O，则BD⊥OC，BD⊥OA，得BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，①正确；

cosADC＝cos45°

·

cos45°

＝，∠ADC＝60°

，AD＝DC，△ADC是正三角形，②正确；

AB与CD成60°

角，③正确；

AB与平面BCD成角∠ABO＝45°

，④错误．

12．如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B－DC1－C的平面角的余弦值是________．

取C1D的中点O，连接BO、CO，则BO⊥C1D，CO⊥C1D，

∴∠BOC是二面角B－DC1－C的平面角．

设正方体的棱长为1，则CO＝，

∵△BDC1为正三角形，

∴OB＝，且BC＝1，

∴cos∠BOC＝＝.

13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°

，点E、F分别是棱AB、BB1的中点．则直线EF和BC1所成的角是（　　）

A．45°

　　　　　　　　　B．60°

C．90°

D．120°

取B1C1的中点G，A1B1的中点H，连结FG、BG、HG、EH，则FG∥BC1，且∠EFG或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得cos∠EFG＝－，故所求角为60°

14．如图，将Rt△ABC沿斜边上的高AD折成120°

的二面角C－AD－C′，若直角边AB＝4，AC＝4，则二面角A－BC′－D的正切值为（　　）

C.D．1

∠CDC′＝120°

，过D作DE⊥BC′于E，连结AE，则∠AED即为所求．又知AD⊥平面BC′D，AD＝4，在△BC′D中，由余弦定理求得BC′＝4，再由面积公式S△BC′D＝BC′·

DE＝·

BD·

C′D·

sin60°

知DE＝4，∴tan∠AED＝＝.

点评：

考查二面角的知识，余弦定理及三角形的边角计算．如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键．

15．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A—BD—P的度数是（　　）

如右图所示，过A作AE⊥BD，

垂足为E，连结PE，

则PE⊥BD（三垂线定理），

故∠PEA为二面角P—BD—A的平面角．

在Rt△BAD中，AE＝＝.

在Rt△PAE中，tan∠PEA＝＝，∴∠PEA＝30°

16．正四棱锥P—ABCD的两个侧面PAB与PCD互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面角为（　　）

B．90°

C．120°

D．150°

如图，作BE⊥PC，连结DE.

∵△PDC≌△PBC，∴DE⊥PC

∴∠DEB就是二面角D—PC—B的平面角，

∵O为DB的中点，

∴∠OEB＝∠DEB，

又∵面PAB⊥面PCD，

∴PO＝AB，

在Rt△POC中，OC＝AB，所以PC＝AB.

∴OE＝＝AB.

∴tan∠OEB＝＝，

∴∠OEB＝，∴∠DEB＝.

17.如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V—AB—C的度数是________．

答案60°

18．如图①，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝，点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图②）．

（1）求证：

AB∥平面DNC；

（2）当DN＝时，求二面角D－BC－N的大小．

解：

（1）证明：

MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，∴MB∥平面DNC.

同理MA∥平面DNC，又MA∩MB＝M，且MA、MB⊂平面MAB.

⇒AB∥平面DNC.

（2）过N作NH⊥BC交BC延长线于H，

∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，

∴DN⊥平面MBCN，从而DH⊥BC，

∴∠DHN为二面角D－BC－N的平面角．

由MB＝4，BC＝2，∠MCB＝90°

知∠MBC＝60°

CN＝4－2cos60°

＝3，∴NH＝3sin60°

＝.

由条件知：

tanNHD＝＝，∴∠NHD＝30°

19.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2，E、F分别是AB、PD的中点．

AF∥平面PEC；

（2）求PC与平面ABCD所成的角的正切值；

（3）求二面角P－EC－D的正切值．

如图，取PC的中点O，

连接OF、OE，则FO∥DC，

且FO＝DC，

∴FO∥AE，

又E是AB的中点，

且AB＝DC，

∴FO＝AE.

∴四边形AEOF是平行四边形，

∴AF∥OE.

又OE⊂平面PEC，

AF⊄平面PEC，

∴AF∥平面PEC.

（2）如图，连接AC，

∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角．

在Rt△PAC中，

tan∠PCA＝

＝＝，

即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为.

（3）如图，作AM⊥CE，

交CE的延长线于M.

连接PM，由三垂线定理得PM⊥CE，

∴∠PMA是二面角P－EC－D的平面角．

由△AME∽△CBE可得

AM＝，

∴tan∠PMA＝＝.

∴二面角P－EC－D的正切值为.

20.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，

∠BCD＝60°

，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.

平面PBE⊥平面PAB；

（2）求二面角A—BE—P的大小．

（1）证明　如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD＝60°

知，△BCD是等边三角形．

因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.

又AB∥CD，

所以BE⊥AB.

又因为PA⊥平面ABCD，

BE⊂平面ABCD，

所以PA⊥BE.

而PA∩AB＝A，

因此BE⊥平面PAB.

又BE⊂平面PBE，

所以平面PBE⊥平面PAB.

（2）解　由

（1）知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，

所以PB⊥BE.又AB⊥BE，

所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．

在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，则∠PBA＝60°

故二面角A—BE—P的大小是60°

21．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为，求直线AB和平面α所成的角．

解　

（1）如图

（1），当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.

而tan∠BAH＝＝.∴∠BAH＝30°

（2）如图

（2），当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α