中考压轴题分类专题三《抛物线中的等腰三角形》Word文档格式.docx
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将的垂直平分线的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点坐标。
(2)为腰时,分两类讨论:
①以为顶角时(即):
点在以为圆心以为半径的圆上。
②以为顶角时(即):
利用圆的一般方程列出(或)的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点坐标。
所需知识点:
一、
两点之间距离公式:
已知两点,
则由勾股定理可得:
。
二、圆的方程:
点在⊙M上,⊙M中的圆心M为,半径为R。
则,得到方程☆:
∴P在☆的图象上,即☆为⊙M的方程。
三、中点公式:
已知两点,则线段PQ的中点M为。
四、任意两点的斜率公式:
已知两点,则直线PQ的斜率:
。
典型例题:
例一(06深圳)如图9,抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧),抛物线上另有一点在第一象限,满足∠为直角,且恰使△∽△.
(1)(3分)求线段的长.
(2)(3分)求该抛物线的函数关系式.
(3)(4分)在轴上是否存在点,使△为等腰三角形?
若存在,求出所有符合条件的点的坐标;
若不存在,请说明理由.
例二(09深圳):
已知,的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直接坐标系中,使其斜边AB与轴重合(其中),直角顶点C落在轴正半轴上(如图11)。
(1)求线段OA、OB的长和过点A、B、C的抛物线的解析式。
(4分)
(2)如图12,点D的坐标为(2,0),点是该抛物线上的一个动点(其中),连接DP交BC于点E。
①当是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标。
(3分)
②又连接CD、CP(如图13),是否有最大面积?
若有,求出的最大面积和此时点P的坐标;
若没有,请说明理由。
图11图12图13
例三(龙岩市中考题):
如图,抛物线经过的三个顶点,已知∥轴,点在轴上,点在轴上,且
(1)求抛物线的对称轴;
(2)求抛物线的解析式;
(3)探究:
若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点,是否存在是等腰三角形?
若不存在,请说明理由。
同步训练:
1、(08年临沂市中考题)如图,已知抛物线与轴交于两点,与轴交于点
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点,使得是等腰三角形?
(3)若点是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标。
2、如图,已知抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C。
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求直线BC的函数解析式;
(3)点P是直线BC上的动点,若△POB为等腰三角形,请写出此时点P的坐标。
(可直接写出结果)
A
B
O
C
x
y
3、在直角坐标系中,把点A(-1,a)(a为常数)向右平移4个单位得到点,经过点A、的抛物线与轴的交点的纵坐标为2.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)设该抛物线的顶点为点P,点B的坐标为,且,若△ABP是等腰三角形,求点B的坐标。
Ox
图7
4、(08年梅州市中考题)如图11所示,在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为轴,过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系.
(1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标;
(2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L.
(3)若P是抛物线的对称轴L上的点,那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?
(不必求点P的坐标,只需说明理由)
5、(20XX年重庆市)已知:
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与
(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,请说明理由;
D
E
(3)对于
(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?
若存在,请求出点Q的坐标;
若不存在,请说明理由.
6、(20XX年河南省)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD
向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值.
7(20XX年江苏省)、如图,已知射线DE与轴和轴分别交于点和点.动点从点出发,以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为秒.
(1)请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标;
(2)以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连接PA、PB.
P
M
①当与射线DE有公共点时,求的取值范围;
②当为等腰三角形时,求的值.
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