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一.问题重述
为了对做过某一类型肝手术病人的生存时间做预测,某医院外科随机的选取了位需要做此手术的病人为研究对象.对每位病人手术前考察了下列四个指标:
凝血值;
预后指数;
酵素化验值;
肝功化验值.根据题目中表给出的数据,建立合适的数学模型,以预测病人手术后的生存时间.并解答以下问题:
1.考虑自变量交互项对模型结果的影响,并判断有无将其引入模型的必要.
2.在此分析的基础上建立模型.模型建立后,需说明模型的合理性.
3.使用残差图分析的方法,分析剔除肝功能化验值对模型结果的影响,以改进模型.
4.评估关于误差正态性假定的合理性.
5.引入其他有用的数据进行分析.
根据题目中表所给的数据,首先拟合问题1.2中所选择的模型,得出相关数据,并与原来所得数据进行比较,以评价所选择模型的稳定性和预测能力.
最后,综合表和表中的数据,对所选择模型的精细和确认性分析,对所得结果进行评价.
二.问题分析
为较为准确地预测做过某一类肝手术病人的生存时间,需运用曲线拟合的方法,建立以病人手术前的四项指标(凝血值,预后指数,酵素化验值,肝功化验值)为回归变量,手术后生存时间对数变换值为因变量的回归模型.
针对问题1.1,要确定最终的回归模型中是否引入自变量交叉项,需考虑引入自变量交叉项对因变量的影响程度,如果影响不显著,则不需引入;
反之,则需要引入.
针对问题1.2,建立合理模型不仅需考虑交叉项对模型结果的影响,还需考虑某项指标对模型结果的影响,是否引入该项亦须考虑其影响的显著程度.验证模型合理性只需将自变量值代入预测模型当中,比较预测值与实际值间的差值,即可验证.
针对问题1.3,根据问题1.2的求解过程,可画出剔除肝功化验值前后模型的残差图.对比两个残差图,若变化明显,则不可剔除肝功化验值;
反之,则可剔除.
针对问题1.4,可对问题1.2中的残差值画出残差图和残差正态分布图,观察图像即可评估误差正态性假定的合理性.
针对问题1.5,肝手术后生存时间还与其他指标相关,搜索相关指标的数据,并将其作为新的自变量进行曲线拟合,对模型进行修正.
针对问题2.1,首先运用曲线拟合的方法对问题一中所选模型进行拟合,并与模型一中各自变量的回归系数以及检验统计量进行比较,以此判断所选模型的合理性.
针对问题2.2,要评价模型的预报能力,须将表2中的自变量代入问题一中的预测模型中,计算出预测值与真实之间的误差,以此为依据评价所选模型的准确性.
针对问题2.3,要对模型做出精细性分析,可以考虑自变量的灵敏度.分别剔除一个自变量后,计算出模型的检验统计值,与模型三作比较,以此为参考得出各自变量的灵敏度.
三.基本假设
1.仅考虑题中所给指标对手术后生存时间的影响;
2.患者无其他病变和意外情况发生;
3.残差大致符合均值为零的正态分布.
四.符号表示
病人编号
第位病人的凝血值
第位病人的预后指数
第位病人的酵素化验值
第位病人的肝功化验值
病人生存时间对数变换值
病人生存时间对数变换预测值
模型拟合产生的随机误差
普通残差.即实际观测值与回归值的偏差
模型中自变量的系数
回归模型的决定系数
模型的统计量值
统计量值对应的概率值
模型的置信水平
随机误差的方差
方差的无偏估计值
五.模型建立与求解
根据题目所给表格,确定四项指标与病人生存时间对数值的关系,然后分析模型的合理性并给出预测.
首先考察各自变量对因变量的影响,为了大致地分析与,,,的关系,利用表1的数据分别作出对,,,的散点图(见图1).
图1对,,,的散点图
从图可以发现,随着的增加,值有较明显的线性增长趋势,图中的直线是用线性模型拟合得到,综合四个图可建立线性回归模型如下:
式右端的称为回归变量,是给定凝血值,预后指数,酵素化验值,肝功化验值时,生存时间对数的平均值,其中的参数为回归系数,由表的数据估计,影响的其它因素作用都包含在随机误差中,如果模型选择的合适,应大致服从均值为零的正态分布.
5.1问题1.1的求解:
为考察自变量交互作用对病人生存时间的影响,不妨建立包括各交互项的回归模型,通过对交互项回归系数及置信区间的观察,判断有无必要将这些交叉项引入到模型中.
5.1.1模型一建立:
从图可以发现,随着,,,的增加,的值有比较明显的线性增长趋势,故建立如下的回归模型:
在这个模型中,的均值与及它们的交叉项有关,由系数确定.
5.1.2模型一求解:
直接利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解,得到模型一的回归系数及其置信区间(置信水平)、检验统计量,,的结果见表:
表模型一的计算结果
参数
参数估计值
参数置信区间
表显示,指因变量(生存时间的对数变换值)的可由模型确定,值远远超过检验的临界值(),值远小于,因而模型一从整体来看是可用的.
表的回归系数给出了模型一中的到的估计值.检查它们的置信区间发现,的置信区间均包含零点(且区间两端端点距零点很近),表明回归变量的各交叉项对因变量的影响不显著,故各交叉项可不引入到模型中.
5.2问题1.2的求解:
由问题1.1中的分析可得,在建立回归模型时,可不引入各交叉项.即只需建立与回归变量线性相关的回归模型.
5.2.1模型二建立:
回归变量,,,对因变量的影响是相互独立的,即病人生存时间的对数平均值与凝血值,预后指数,酵素化验值,肝功化验值的关系分别由回归系数,,,确定,得到:
在这个模型中,的均值与给定凝血值,预后指数,酵素化验值,肝功化验值有关.
5.2.2模型二求解:
直接利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解,得到模型二的回归系数及其置信区间(置信水平)、检验统计量,,的结果见表:
表模型二的计算结果
表显示,指因变量(生存时间的对数变换值)的可由模型确定,值远远超过检验的临界值(),值远小于,因而模型二从整体来看是可用的.
表的回归系数给出了模型一中的,,,,的估计值,即,,,,.检查它们的置信区间发现,只有的置信区间包含零点(但区间左端点距零点很近),表明回归变量(对因变量的影响)不太显著,模型需进行改进.
对模型二各回归变量的回归系数以及置信区间进行考察可以看出,(肝功化验值)对影响不太显著.故在改进模型时,可将剔除.
5.2.3模型三建立:
如果剔除肝功能化验值,模型变为:
在这个模型中,的均值仅与给定凝血值,预后指数,酵素化验值有关,由系数确定.
5.2.4模型三求解:
利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解,得到模型三的回归系数及其置信区间(置信水平)、检验统计量,,的结果见表:
表模型三的计算结果
对比表和表可以看出,剔除后的值变化微小,而且的值增大,所有参数的置信区间不包含零点,由此判断,剔除肝功能化验值对模型的预测影响不大,但相比模型二更合理.
为了对残差进行分析,图给出模型三的残差图.
图模型三的残差图
从图可发现两个异常点,为了使个别的数据不影响整个模型,应该将这个异常数据去掉,对模型三重新估计回归系数,得到的结果如表,残差图见图,可以看出,去掉异常点数据后结果有所改善.
图模型三去掉异常数据后的残差图
表模型三去掉异常数据后的计算结果
对比表和表可以看出,剔除两个异常数据后,得到的和均有所增大,所有参数的置信区间不包含零点,由此可以得出该问题的最优预测模型,称为模型四:
将组数据代入预测模型得到的预测值与真实值进行比较(比较结果见附录表),得出平均偏差为,所以,模型三去除两个异常点后建立的预测模型四相对符合实际,更合理.
5.3问题1.3的求解:
模型四中已经剔除掉肝功化验值,为了对残差进行分析,下面给出了模型二和模型三的残差图:
图模型二的残差图图模型三的残差图
对比模型二和模型四的残差图可看出,模型二和模型四的残差图差别很小,而且图中的残差分布相对集中,说明肝功化验值对预测模型的影响很小,可以不考虑.
5.4问题1.4的求解:
对模型三的残差从小到大排序后,利用MATLAB统计工具箱中提供的图检验其是否符合正态分布,模型四的残差图如下图:
图模型三残差图检验
由图中可以看到,模型三的残差点近似分布在一条直线上,则可认为它符合正态分布,则误差正态性假定是合理的,下面给出模型三的残差正态分布图:
图模型三残差正态分布图
5.5问题1.5的求解:
做过肝手术病人的生存时间除了和凝血值,预后指数,酵素化验值,肝功化验值有关外,还与抗凝指标值,纤溶指标值等有关系.
5.6问题2.1求解:
问题一中所选模型为
根据表中的数据,运用MATLAB统计工具箱中的命令regress重新求解,得到模型三的回归系数及其置信区间(置信水平),检验统计量,,的结果见表:
表用表中的数据拟合模型三的计算结果
得到预测模型如下:
利用式对表中所给的指标进行预测,所得预测值与真实值进行比较(见附录表),平均偏差为,表明所选模型比较稳定,未出现较大程度的偏差.再将表与表中的各项数据进行比较,发现各项数据的变化较小,说明模型三的精确度高,稳定性好.
对表数据的残差图(图)进行分析可见数据分布集中,这也说明模型三精确度高,能够较准确的预测病人生存时间.
图用表数据拟合模型三所得残差图
5.7问题2.2的求解:
对一个实际问题建立起多元线性回归方程后,一个重要应用就是利用方程去预测.除了
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