学年高中数学人教A版选修22学案第一章 12 第二课时 导数的运算法则 Word版含答案Word文档格式.docx
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②可分解为y=f(u)与u=g(x),其中u称为中间变量.
(2)求导法则:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为:
yx′=yu′·
ux′.
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)f′(x)=2x,则f(x)=x2.( )
(2)函数f(x)=xex的导数是f′(x)=ex(x+1).( )
(3)函数f(x)=sin(-x)的导数为f′(x)=cosx.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)×
2.函数y=sinx·
cosx的导数是( )
A.y′=cos2x+sin2x B.y′=cos2x
C.y′=2cosx·
sinxD.y′=cosx·
sinx
B
3.函数y=xcosx-sinx的导数为________.
-xsinx
4.若f(x)=(2x+a)2,且f′
(2)=20,则a=________.
1
利用导数四则运算法则求导
[典例] 求下列函数的导数:
(1)y=x2+log3x;
(2)y=x3·
ex;
(3)y=.
[解]
(1)y′=(x2+log3x)′=(x2)′+(log3x)′
=2x+.
(2)y′=(x3·
ex)′=(x3)′·
ex+x3·
(ex)′
=3x2·
ex=ex(x3+3x2).
(3)y′=′=
==-.
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数的运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
[活学活用]
求下列函数的导数:
(1)y=sinx-2x2;
(2)y=cosx·
lnx;
解:
(1)y′=(sinx-2x2)′=(sinx)′-(2x2)′=cosx-4x.
(2)y′=(cosx·
lnx)′=(cosx)′·
lnx+cosx·
(lnx)′
=-sinx·
lnx+.
==
复合函数的导数运算
(1)y=;
(2)y=esin(ax+b);
(3)y=sin2;
(4)y=5log2(2x+1).
[解]
(1)设y=u-,u=1-2x2,
则y′=(u-)′(1-2x2)′=·
(-4x)
=-(1-2x2)-(-4x)=2x(1-2x2)-.
(2)设y=eu,u=sinv,v=ax+b,
则yx′=yu′·
uv′·
vx′=eu·
cosv·
a
=acos(ax+b)·
esin(ax+b).
(3)设y=u2,u=sinv,v=2x+,
vx′=2u·
2
=4sinvcosv=2sin2v=2sin.
(4)设y=5log2u,u=2x+1,
则y′=5(log2u)′·
(2x+1)′
==.
1.求复合函数的导数的步骤
2.求复合函数的导数的注意点
(1)内、外层函数通常为基本初等函数.
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导,这是求复合函数导数时的易错点.
求下列函数的导数:
(1)y=(3x-2)2;
(2)y=ln(6x+4);
(3)y=e2x+1;
(4)y=;
(5)y=sin;
(6)y=cos2x.
(1)y′=2(3x-2)·
(3x-2)′=18x-12;
(2)y′=·
(6x+4)′=;
(3)y′=e2x+1·
(2x+1)′=2e2x+1;
(4)y′=·
(2x-1)′=.
(5)y′=cos·
′=3cos.
(6)y′=2cosx·
(cosx)′=-2cosx·
sinx=-sin2x.
与切线有关的综合问题
[典例]
(1)函数y=2cos2x在x=处的切线斜率为________.
(2)已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为f′(x),
①求f
(1)+f′
(1).
②若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线,求实数a的取值范围.
[解析]
(1)由函数y=2cos2x=1+cos2x,得y′=(1+cos2x)′=-2sin2x,所以函数在x=处的切线斜率为-2sin=-1.
-1
(2)解:
①由题意,函数的定义域为(0,+∞),
由f(x)=ax2+lnx,得f′(x)=2ax+,
所以f
(1)+f′
(1)=3a+1.
②因为曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线,故此时切线斜率为0,问题转化为在x∈(0,+∞)内导函数f′(x)=2ax+存在零点,
即f′(x)=0⇒2ax+=0有正实数解,
即2ax2=-1有正实数解,故有a<
0,所以实数a的取值范围是(-∞,0).
关于函数导数的应用及其解决方法
(1)应用:
导数应用主要有:
求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用.
(2)方法:
先求出函数的导数,若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.总之,切点在解决此类问题时起着至关重要的作用.
若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a的值为( )
A.-1或- B.-1或
C.-或-D.-或7
解析:
选A 设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,x),
则切线方程为y-x=3x(x-x0),即y=3xx-2x.
又点(1,0)在切线上,代入以上方程得x0=0或x0=.
当x0=0时,直线方程为y=0.
由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-.
当x0=时,直线方程为y=x-.
由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1.
层级一 学业水平达标
1.已知函数f(x)=ax2+c,且f′
(1)=2,则a的值为( )
A.1 B.
C.-1D.0
选A ∵f(x)=ax2+c,∴f′(x)=2ax,
又∵f′
(1)=2a,∴2a=2,∴a=1.
2.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于( )
A.1B.2
C.3D.4
选D y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′=2(x+1)·
(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1,∴y′|x=1=4.
3.曲线f(x)=xlnx在点x=1处的切线方程为( )
A.y=2x+2B.y=2x-2
C.y=x-1D.y=x+1
选C ∵f′(x)=lnx+1,∴f′
(1)=1,又f
(1)=0,∴在点x=1处曲线f(x)的切线方程为y=x-1.
4.已知物体的运动方程为s=t2+(t是时间,s是位移),则物体在时刻t=2时的速度为( )
A.B.
C.D.
选D ∵s′=2t-,∴s′|t=2=4-=.
5.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )
A.0B.1
C.2D.3
选D y′=a-,由题意得y′|x=0=2,即a-1=2,所以a=3.
6.曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为________.
∵y′=3x2-1,∴y′|x=1=3×
12-1=2.
∴切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.
2x-y+1=0
7.已知曲线y1=2-与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0=________.
由题知y′1=,y′2=3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处切线的斜率分别为,3x-2x0+2,所以=3,所以x0=1.
8.已知函数f(x)=f′cosx+sinx,则f的值为________.
∵f′(x)=-f′sinx+cosx,
∴f′=-f′×
+,
得f′=-1.
∴f(x)=(-1)cosx+sinx.
∴f=1.
9.求下列函数的导数:
(1)y=xsin2x;
(2)y=;
(3)y=;
(4)y=cosx·
sin3x.
(1)y′=(x)′sin2x+x(sin2x)′
=sin2x+x·
2sinx·
(sinx)′=sin2x+xsin2x.
(2)y′=
=.
(3)y′=
=
(4)y′=(cosx·
sin3x)′
=(cosx)′sin3x+cosx(sin3x)′
=-sinxsin3x+3cosxcos3x
=3cosxcos3x-sinxsin3x.
10.偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求f(x)的解析式.
∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1.
又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).
故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
∴b=0,d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1.
∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,
∴切点为(1,-1).∴a+c+1=-1.
∵f′(x)|x=1=4a+2c,∴4a+2c=1.
∴a=,c=-.
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x4-x2+1.
层级二 应试能力达标
1.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′
(1)=2,则f′(-1)等于( )
A.-1 B.-2
C.2D.0
选B ∵f′(x)=4ax3+2bx为奇函数,∴f′(-1)=-f′
(1)=-2.
2.曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A.2eB.e
C.2D.1
选C 函数的导数为f′(x)=ex-1+xex-1=(1+x)ex-1,
当x=1时,f′
(1)=2,即曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率k=f′
(1)=2,故选C.
3.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+lnx,则f′(e)=( )
A.e-1B.-1
C.-e-1D.-e
选C ∵f(x)=2xf′(e)+lnx,
∴f′(x)=2f′(e)+,
∴f′(e)=2f′(e)+,解得f′(e)=-,故选C.
4.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(
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