第二章圆锥曲线与方程教案Word文档格式.docx
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2.4抛物线约2课时
直线与圆锥曲线的位置关系约1课时
小结约1课时
2.1求曲线的轨迹方程(新授课)
一、教学目标
知识与技能:
结合已经学过的曲线及方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,了解两条曲线交点的求法;
能根据曲线的已知条件求出曲线的方程,并初步学会通过方程来研究曲线的性质。
过程与方法:
通过求曲线方程的学习,可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力,帮助我们理解研究圆锥曲线的基本方法。
情感、态度与价值观:
通过曲线与方程概念的学习,可培养我们数与形相互联系,对立统一的辩证唯物主义观。
二、教学重点与难点
重点:
求动点的轨迹方程的常用技巧与方法.
难点:
作相关点法求动点的轨迹方法.
三、教学过程
(一)复习引入
平面解析几何研究的主要问题是:
1、根据已知条件,求出表示平面曲线的方程;
2、通过方程,研究平面曲线的性质.
我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究,今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析.
(二)几种常见求轨迹方程的方法
1.直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法.
例1、
(1)求和定圆x2+y2=R2的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程;
(2)过点A(a,o)作圆O∶x2+y2=R2(a>R>o)的割线,求割线被圆O截得弦的中点的轨迹.
对
(1)分析:
动点P的轨迹是不知道的,不能考查其几何特征,但是给出了动点P的运动规律:
|OP|=2R或|OP|=0.
解:
设动点P(x,y),则有|OP|=2R或|OP|=0.
即x2+y2=4R2或x2+y2=0.
故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0.
对
(2)分析:
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件,但可以通过分析图形的几何性质而得出,即圆心与弦的中点连线垂直于弦,它们的斜率互为负倒数.解答为:
设弦的中点为M(x,y),连结OM,
则OM⊥AM.
∵kOM·
kAM=-1,
其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点).
2.定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件,或利用平面几何知识分析得出这些条件.
直平分线l交半径OQ于点P(见图2-45),当Q点在圆周上运动时,求点P的轨迹方程.
分析:
∵点P在AQ的垂直平分线上,
∴|PQ|=|PA|.
又P在半径OQ上.
∴|PO|+|PQ|=R,即|PO|+|PA|=R.
故P点到两定点距离之和是定值,可用椭圆定义
写出P点的轨迹方程.
连接PA∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|.
∴|PO|+|PQ|=2.
由椭圆定义可知:
P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆.
3.相关点法
若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动,且x0、y0可用x、y表示,则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P的轨迹方程.这种方法称为相关点法(或代换法).
例3、已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1),B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP∶PA=1∶2,当B点在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程.
P点运动的原因是B点在抛物线上运动,因此B可作为相关点,应先找出点P与点B的联系.
设点P(x,y),且设点B(x0,y0)
∵BP∶PA=1∶2,且P为线段AB的内分点.
4.待定系数法
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求.
例4、已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点,又直线y=2x被双曲线所截的的线段长等于,求此双曲线方程。
a2x2-4b2x+a2b2=0
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点,根据它们的对称性,这两个点的横坐标应相等,因此方程a2x2-4b2x+a2b2=0应有等根.
∴△=16b4-4a4b2=0,即a2=2b.
由弦长公式得:
即a2b2=4b2-a2.
(三)巩固练习
1.△ABC一边的两个端点是B(0,6)和C(0,-6),另两边斜率的积是,求顶点A的轨迹。
2.点P与一定点F(2,0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2,求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形?
3.求抛物线y2=2px(p>0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程.
(四)课时小结
求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法,还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法,这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.
(五)布置作业:
习题2.1A组2.3.4
四、课后反思:
2.2.1椭圆及其标准方程(新授课)
了解椭圆的实际背景,掌握椭圆的定义及其标准方程。
通过椭圆的概念引入椭圆的标准方程的推导,培养学生的分析探索能力,熟练掌握解决解析问题的方法—坐标法。
通过对椭圆的定义及标准方程的学习,渗透数形结合的思想,让学生体会运动变化、对立统一的思想,提高对各种知识的综合运用能力.
椭圆的定义和椭圆的标准方程.
椭圆的标准方程的推导.
(一)椭圆概念的引入
问题1:
什么叫做曲线的方程?
求曲线方程的一般步骤是什么?
问题3:
圆的几何特征是什么?
你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索?
一般学生能回答:
“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”.
对学生提出的轨迹命题如:
“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.”
“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.”
“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹.”
取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13),当绳长大于F1和F2的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆.
教师进一步追问:
“椭圆,在哪些地方见过?
”有的同学说:
“立体几何中圆的直观图.”有的同学说:
“人造卫星运行轨道”等……
在此基础上,引导学生概括椭圆的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距.
学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调:
(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外,得到的不是椭圆,而是椭球形,使学生认识到需加限制条件:
“在平面内”.
(2)这里的常数有什么限制吗?
教师边演示边提示学生注意:
若常数=|F1F2|,则是线段F1F2;
若常数<|F1F2|,则轨迹不存在;
若要轨迹是椭圆,还必须加上限制条件:
“此常数大于|F1F2|”.
(二)椭圆标准方程的推导
1.标准方程的推导
由椭圆的定义,可以知道它的基本几何特征,但对椭圆还具有哪些性质,我们还一无所知,所以需要用坐标法先建立椭圆的方程.
如何建立椭圆的方程?
根据求曲线方程的一般步骤,可分:
(1)建系设点;
(2)点的集合;
(3)代数方程;
(4)化简方程等步骤.
(1)建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的.
以两定点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(如图2-14).设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有F1(-1,0),F2(c,0).
(2)点的集合
由定义不难得出椭圆集合为:
P={M||MF1|+|MF2|=2a}.
(3)代数方程
(4)化简方程(学生板演,教师点拨)
2.两种标准方程的比较(引导学生归纳)
0)、
F2(c,0),这里c2=a2-b2;
-c)、
F2(0,c),这里c2=a2+b2,只须将
(1)方程的x、y互换即可得到.
教师指出:
在两种标准方程中,∵a2>b2,∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
(三)例题讲解
例、平面内两定点的距离是8,写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程.
先根据题意判断轨迹,再建立直角坐标系,采用待定系数法得出轨迹方程.
这个轨迹是一个椭圆,两个定点是焦点,用F1、F2表示.取过点F1和F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.
∵2a=10,2c=8.
∴a=5,c=4,b2=a2-c2=25-16=9.∴b=3
因此,这个椭圆的标准方程是
思考:
焦点F1、F2放在y轴上呢?
(四)课堂练习:
课本42页练习1、2、3、4
(五)课时小结
1.定义:
椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.
3.图形
(六)布置作业:
习题2.2A组1、7
四、课后反思
2.2.2椭圆的简单几何性质(新授课)
通过椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,能正确地画出椭圆的图形,并能根据几何性质解决一些简单的问题,从而培养我们的分析、归纳、推理等能力。
掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,进一步体会数形结合的思想。
通过本小节的学习,进一步体会方程与曲线的对应关系,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
椭圆的几何性质及初步运用.
椭圆离心率的概念的理解.
(一)复习提问
1.椭圆的定义是什么?
2.椭圆的标准方程是什么?
(二)几何性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何的基本问题之一。
1、范围
即|x|≤a,|y|≤b,这说明椭圆在直线x=±
a和直线y=±
b所围成的矩形里,注意结合图形讲解,并指出描点画图时,就不能取范围以外的点.
2.对称性
先请大家阅读课本椭圆的几何性质2.
设问:
为什么“把x换成-x,或把y换成-y?
,或把x、y同时换成-x、-y时,方程都不变,所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢?
事实上,在曲线的方程里,如果把x换成-x而方程不变,那么当点P(x,y)在曲线上时,点P关于y轴的对称点Q(-x,y)也在曲线上,所以曲
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