对数与对数函数知识点与题型归纳Word下载.docx
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②logaaN=N(a>
(3)对数的重要公式
①换底公式:
logbN=(a,b均大于零且不等于1);
②logab=,推广logab·
logbc·
logcd=logad.
(补充)特殊结论:
知识点二对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象与性质(注意定义域!
)
a>
1
0<
a<
图象
2.反函数
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,
它们的图象关于直线y=x对称.
(补充)
设y=f(x)存在反函数,并记作y=f-1(x),
1)函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象
关于直线对称.
2)如果点P(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上,
则必有f-1(y0)=x0,
反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域.
3)函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的单调性相同.
二、例题分析:
(一)对数式的运算
例1.
(1)《名师一号》P27对点自测1
(2013·
陕西文3)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( )
A.logab·
logcb=logca
B.logab·
logca=logcb
C.loga(bc)=logab·
logac
D.loga(b+c)=logab+logac
解析 由对数的运算性质:
loga(bc)=logab+logac,
可判断选项C,D错误;
选项A,由对数的换底公式知,logab·
logcb=logca⇒·
=⇒lg2b=lg2a,此式不恒成立,故错误;
对选项B,由对数的换底公式知,logab·
logca=·
==logcb,故恒成立.
答案 B
例1.
(2)(补充)计算下列各式的值
(1)
(2)温故知新P22第8题
(3)
答案:
(1)1
(2)10(3)-12
准确熟练记忆对数运算性质多练
《名师一号》P28高频考点例1
【规律方法】 在对数运算中,要熟练掌握对数式的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式.
例2.
(1)《名师一号》P27对点自测2
(2014·
陕西卷)已知4a=2,lgx=a,则x=________.
解析 ∵4a=2,∴a=log42=.由lgx=,
得x=10=.
例2.
(2)《名师一号》P28高频考点例1
(1)
若x=log43,则(2x-2-x)2等于( )
A. B. C. D.
解析:
由x=log43,得4x=3,
即2x=,2-x=,
所以(2x-2-x)2=2=.
指数与对数的互化
ab=N⇔b=(a>
0,a≠1,N>
0).
练习:
(补充)已知求
答案:
例3.《名师一号》P28高频考点例1
(2)
已知函数f(x)=则f(f
(1))+f的值
是( )
A.5 B.3 C.-1 D.
因为f
(1)=log21=0,所以f(f
(1))=f(0)=2.
因为log3<
0,所以f=3+1
=3+1=2+1=3.
所以f(f
(1))+f=2+3=5.
二、对数函数的图象及性质的应用
例1.(补充)
求下列函数的定义域.
(1)y=.
(2)y=log(x+1)(16-4x).
解析:
(1)由函数定义知:
∴即<
x≤1.
故原函数的定义域是{x|<
x≤1}.
(2)由函数有意义知
∴即-1<
x<
2,且x≠0.
故原函数的定义域为{x|-1<
0,或0<
2}.
练习:
已知集合
求实数a的取值范围.
设f(x)=x2-ax-a,则y=log2f(x),
依题意,f(x)>
0恒成立,∴Δ=a2+4a<
∴-4<
0,即a的范围为(-4,0)
例2.《名师一号》P27对点自测5
重庆卷)函数f(x)=log2·
log(2x)的最小值为________.
解析 根据对数运算性质,f(x)=log2·
log(2x)=log2x·
[2log2(2x)]=log2x(1+log2x)=(log2x)2+log2x=2-,当x=时,函数取得最小值-.
换元后“新元”的取值范围.
1、求下列函数的值域
(1)y=log(-x2+2x+4)
[答案] [-1,+∞)
(2)f(x)=logx-3log2x2+2
[解析] 令t=log2x,∵≤x≤2∴-1≤t≤1.
∴函数化为y=t2-6t+2=(t-3)2-7
∵-1≤t≤1.
∴当t=-1,即x=时,ymax=9.
当t=1,即x=2时,ymin=-3,
∴函数的值域为[-3,9].
2、已知集合
[分析]当且仅当f(x)=x2-ax-a的值能够取遍一切正实数时,y=log2(x2-ax-a)的值域才为R.
而当Δ<
0时,f(x)>
0恒成立,仅仅说明函数定义域为R,而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏).要使f(x)能取遍一切正实数,作为二次函数,f(x)图像应与x轴有交点(但此时定义域不再为R)
[正解] 要使函数y=log2(x2-ax-a)的值域为R,应使f(x)=x2-ax-a能取遍一切正数,要使f(x)=x2-ax-a能取遍一切正实数,应有Δ=a2+4a≥0,∴a≥0或a≤-4,∴所求a的取值范围为(-∞,-4]∪[0,+∞)
例3.
(1)《名师一号》P27对点自测4
已知a>0且a≠1,则函数y=loga(x+2015)+2的图象恒过定点________.
解析 令x+2015=1,即x=-2014时,y=2,故其图象恒过定点(-2014,2).
无论a取何正数(a≠1),函数恒过定点
【答案】
对数函数图象都经过定点(1,0)
例3.
(2)(补充)
如右下图是对数函数①y=logax,②y=logbx,
③y=logcx,④y=logdx的图象,则a、b、c、d
与1的大小关系是( )
A.a>
b>
1>
c>
d
B.b>
a>
d>
c
C.1>
D.a>
【答案】B
在上图中画出直线y=1,分别与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1),由图可知c<
d<
1<
b.
(补充)
两个单调性相同的对数函数,
它们的图象在位于直线x=1右侧的部分是“底大图低”.
利用,图象都经过点,作直线,
则该直线与图象的交点的横坐标即为底数。
例3.(3)《名师一号》P28高频考点例2
(1)
福建卷)若函数y=logax(a>
0,
且a≠1)的图象如图所示,
则下列函数图象正确的是( )
B.
例4.《名师一号》P28高频考点例3
已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).
(1)若f
(1)=1,求f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?
若存在,求出a的值;
若不存在,说明理由.
(1)∵f
(1)=1,
∴log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1.
这时f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>
0得-1<
3,
函数f(x)的定义域为(-1,3).
令g(x)=-x2+2x+3,
则g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减.
又y=log4x在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),
单调递减区间是(1,3).
(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0,
则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,
因此应有
解得a=.
故存在实数a=使f(x)的最小值为0.
温故知新P32第5题
三、比较大小
例1.《名师一号》P29特色专题典例
,则( )
cB.b>
cC.a>
bD.c>
b
【规范解答】
方法1:
在同一坐标系中分别作出函数y=log2x,y=log3x,y=log4x的图象,如图所示.
由图象知:
log23.4>
log3>
log43.6.
方法2:
∵log3>
log33=1,且<
3.4,
∴log3<
log33.4<
log23.4.
∵log43.6<
log44=1,log3>
1,
∴log43.6<
log3.
∴log23.4>
由于y=5x为增函数,
故a>
《名师一号》P28问题探究问题3
比较幂、对数大小有两种常用方法:
①数形结合;
②找中间量结合函数单调性.
1、若0<
y<
1,则( )
A.3y<
3xB.logx3<
logy3
C.log4x<
log4yD.x<
y
∵0<
①由y=3u为增函数知3x<
3y,排除A;
②∵log3u在(0,1)内单调递增,
∴log3x<
log3y<
0,∴logx3>
logy3,∴B错.
③由y=log4u为增函数知log4x<
log4y,
∴C正确.
④由y=u为减函数知x>
y,排除D.
C
2、对于0<
1,给出下列四个不等式
①loga(1+a)<
loga(1+);
②loga(1+a)>
③a1+a<
a;
④a1+a>
a.
其中成立的是( )
A.①与③B.①与④
C.②与③D.②与④
D
由于0<
1⇒a<
⇒1+a<
1+,
∴loga(1+a)>
loga(1+),a1+a>
∴选D.
四、对数方程与不等式
例1.
(1)(补充)
方程log3(x2-10)=1+log3x的解是___.
[答案] x=5
[解析] 原方程化为log3(x2-10)=log3(3x),由于log3x在(0,+∞)上严
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