学年高中数学选修21讲义模块高考对接 高Word下载.docx

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若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数

2．设集合A＝{x|－2－a<

x<

a，a>

0}，命题p：

1∈A，命题q：

2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是________．

解析：

若p为真命题，则－2－a<

1<

a，解得a>

1.

若q为真命题，则－2－a<

2<

2.

依题意，得p假q真，或p真q假，

即

或

∴1<

a≤2.

（1,2]

　　充要条件与各章节内容相结合是历年高考考查的热点之一，题型主要以填空题为主．

1.要分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性．

（1）若“p⇒q”，且“p⇐/q”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”；

（2）若“p⇔q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；

（3）若“p⇔/q”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”．

2.要注意转换命题的判定，可以利用互为逆否命题的等价性进行判断.

[例2]　（四川高考改编）设a，b为正实数，则“a>

b>

1”是“log2a>

log2b>

0”的________条件．

[解析]　y＝log2x（x>

0）为增函数，当a>

1时，log2a>

0；

反之，若log2a>

0，结合对数函数的图象易知a>

1成立，故“a>

0”的充要条件．

[答案]　充要

3．（天津高考改编）设a，b∈R，则“（a－b）·

a2<

0”是“a<

b”的________条件．

若（a－b）a2<

0，则a≠0，且a<

b，所以充分性成立；

若a<

b，则a－b<

0，当a＝0时，（a－b）a2＝0，所以必要性不成立．故“（a－b）a2<

b”的充分不必要条件．

充分不必要

4．（浙江高考改编）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A>

0，ω>

0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ＝

”的________条件．

若f（x）是奇函数，则φ＝

＋kπ（k∈Z），且当φ＝

时，f（x）为奇函数．

必要不充分

　　主要考查全称命题与存在性命题的真假的判定以及含有一个量词的命题的否定．题型主要是填空题．

　　1.全称命题的真假判定：

要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p（x）成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．

2.存在性命题的真假判定：

要判定一个存在性命题为真，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可．否则，这一存在性命题为假．

3.全称命题的否定一定是存在性命题，存在性命题的否定一定是全称命题，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定．

4.注意命题的否定与否命题的区别.

[例3]　（湖北高考改编）命题“∃x0∈（0，＋∞），lnx0＝x0－1”的否定是________．

[解析]　改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即lnx≠x－1.

[答案]　∀x∈（0，＋∞），lnx≠x－1

5．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________．

任意一个无理数，它的平方不是有理数

6．命题“对任何x∈R，|x－1|＋|x－3|≥3”的否定是__________________________．

由题意知命题的否定为

“存在x∈R，使|x－1|＋|x－3|<

3”．

存在x∈R，使得|x－1|＋|x－3|<

3

　　主要考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及待定系数法求圆锥曲线的方程．圆锥曲线定义的应用，尤其是离心率是高考的热点，双曲线的渐近线也是高考重要内容．题型上填空、解答题都有可能出现．

　　对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；

应用圆锥曲线的性质时，要注意数形结合思想、方程思想的运用.

[例4]　

（1）（山东高考）过双曲线C：

－

＝1（a>

0，b>

0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．

（2）（天津高考改编）已知双曲线

0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p>

0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为

，则p＝________．

[解析]　

（1）如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为

，又直线l过右焦点F（c，0），则直线l的方程为y＝

（x－c）．

因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得

＝1，化简得y＝－

b或y＝

b（点P在x轴下方，故舍去），故点P的坐标为（2a，－

b），代入直线方程得－

b＝

（2a－c），化简可得离心率e＝

＝2＋

.

（2）已知

＝2，所以

＝4，

＝

，渐近线方程为y＝±

x，而抛物线准线方程为x＝－

，于是A

，B

，从而S△AOB＝

·

p·

，得p＝2.

[答案]　

（1）2＋

（2）2

7．双曲线

＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是__________．

由已知，双曲线中，a＝8，b＝6，所以c＝10，由于点P到右焦点的距离为4,4<

a＋c＝18，所以点P在双曲线右支上．由双曲线第一定义，可知点P到左焦点的距离为2×

8＋4＝20，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第二定义，有

，故d＝16.

16

8．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF＝3，则AB＝________.

设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F（1,0），AF＝x1＋1＝3，x1＝2，y1＝±

2

，直线AF的方程是y＝±

2

（x－1），代入y2＝4x得2x2－5x＋2＝0，

∴x1＋x2＝

，AB＝x1＋x2＋2＝

　　直线与圆锥曲线的位置关系是高考的热点，涉及求弦长、焦点弦、中点弦、取值范围，最值、定点、定值等问题，题型以解答题为主、这类题目综合性强，难度较大，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合．

　　处理直线与圆锥曲线的位置关系时，常用联立方程组消元法得到一元二次方程，要注意直线的斜率不存在的情形，分析解决这类问题，往往利用数形结合的思想，以及“设而不求”的方法，由于运算量较大，要注意运算结果的准确性.

[例5]　（陕西高考）如图，椭圆E：

＋

0）经过点A（0，－1），且离心率为

（1）求椭圆E的方程；

（2）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：

直线AP与AQ的斜率之和为2.

[解]　

（1）由题设知

，b＝1，

结合a2＝b2＋c2，解得a＝

所以椭圆的方程为

＋y2＝1.

（2）证明：

由题设知，直线PQ的方程为y＝k（x－1）＋1（k≠2），代入

＋y2＝1，得（1＋2k2）x2－4k（k－1）x＋2k（k－2）＝0.

由已知得Δ＞0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，

则x1＋x2＝

，x1x2＝

.

从而直线AP，AQ的斜率之和

kAP＋kAQ＝

＝2k＋（2－k）·

＝2k＋（2－k）

＝2k－2（k－1）＝2.

9．已知椭圆的一个顶点为A（0，－1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x－y＋2

＝0的距离为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线y＝kx＋m（k≠0）相交于不同的两点M、N.当AM＝AN时，求m的取值范围．

解：

（1）依题意可设椭圆方程为

＋y2＝1，

则右焦点F（

，0），

由题设

＝3，

解得a2＝3，故所求椭圆的方程为

（2）设P为弦MN的中点，由

得（3k2＋1）x2＋6mkx＋3（m2－1）＝0，

由于直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，

即m2＜3k2＋1.　①

∴xP＝

＝－

，

从而yP＝kxP＋m＝

∴kAP＝

又AM＝AN，∴AP⊥MN，

则－

，即2m＝3k2＋1.　②

把②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，

由②得k2＝

＞0，

解得m＞

，故所求m的取值范围是

10．（天津高考）设椭圆

＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为

，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

（2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若

＝8，求k的值．

（1）设F（－c,0），由

，知a＝

c.

过点F且与x轴垂直的直线的方程为x＝－c，

代入椭圆方程有

＝1，解得y＝±

于是

，解得b＝

又a2－c2＝b2，从而a＝

，c＝1，

＝1.

（2）设点C（x1，y1），D（x2，y2），

由过点F（－1,0）得直线CD的方程为y＝k（x＋1），

由方程组

消去y，整理得（2＋3k2）x2＋6k2x＋3k2－6＝0.

由根与系数的关系可得

x1＋x2＝－

因为A（－

，0），B（

所以

＝（x1＋

，y1）·

（

－x2，－y2）＋（x2＋

，y2）·

－x1，－y1）

＝6－2x1x2－2y1y2

＝6－2x1x2－2k2（x1＋1）（x2＋1）

＝6－（2＋2k2）x1x2－2k2（x1＋x2）－2k2

＝6＋

由已知得6＋

＝8，解得k＝±

　　求圆锥曲线的标准方程与轨迹方程也是高考重点内容之一，题型以解答题为主．

　　1.根据圆锥曲线的焦点位置，来确定标准方程的形式，利用待定系数法求解即可．

2.求轨迹方程的几种常用方法：

（1）直