第三十二中学届高三上学期期末考试数学理试题附答案Word文档下载推荐.docx
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A.2B.3C.4D.5
7.若x,y满足
,则z=x+2y的最大值为( )
A.0B.1C.
D.2
8.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
9.若双曲线C:
﹣
=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )
A.2B.
10.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )
A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC
11.已知sinα﹣cosα=
,则sin2α=( )
A.﹣
B.﹣
12.若x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1的极值点,则f(x)的极小值为( )
A.﹣1B.﹣2e﹣3C.5e﹣3D.1
二.填空题(共4小题)
13.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .
14.不等式
>1的解集为 .
15.已知向量
=(﹣1,2),
=(m,1),若向量
+
与
垂直,则m= .
16.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B= .
答题卡
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
三.解答题(共6小题)
17.在△ABC中,∠A=60°
,c=
a.
(1)求sinC的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.
19.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E、F分别是AB、BC的中点,证明A1、C1、F、E四点共面,并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小.
20.已知椭圆E:
=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(Ⅰ)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
21.已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.
(1)求a;
(2)证明:
f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.
22.解不等式x+|2x+3|≥2.
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
【解答】解:
∵M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},
∴M∩N={1,2,6},即M∩N中元素的个数为3.
故选:
B.
=
=2﹣i,
故选D.
命题的否定是:
∀n∈N,n2≤2n,
C.
∵θ为锐角,sinθ=
,则cosθ=
,
D.
可分以下2种情况:
①A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C31C42种不同的选法;
②A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C41种不同的选法.
∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种.
故选A.
执行程序框图,有S=0,K=1,a=﹣1,代入循环,
第一次满足循环,S=﹣1,a=1,K=2;
满足条件,第二次满足循环,S=1,a=﹣1,K=3;
满足条件,第三次满足循环,S=﹣2,a=1,K=4;
满足条件,第四次满足循环,S=2,a=﹣1,K=5;
满足条件,第五次满足循环,S=﹣3,a=1,K=6;
满足条件,第六次满足循环,S=3,a=﹣1,K=7;
K≤6不成立,退出循环输出S的值为3.
作出不等式组
表示的平面区域,
当l经过点B时,目标函数z达到最大值
∴z最大值=0+2×
1=2.
设这个塔顶层有a盏灯,
∵宝塔一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,
∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列,
又总共有灯381盏,
∴381=
=127a,解得a=3,
则这个塔顶层有3盏灯,
故选B.
双曲线C:
=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为:
bx+ay=0,
圆(x﹣2)2+y2=4的圆心(2,0),半径为:
2,
=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣2)2+y2=4所截得的弦长为2,
可得圆心到直线的距离为:
解得:
,可得e2=4,即e=2.
法一:
连B1C,由题意得BC1⊥B1C,
∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1⊂平面B1BCC1,
∴A1B1⊥BC1,
∵A1B1∩B1C=B1,
∴BC1⊥平面A1ECB1,
∵A1E⊂平面A1ECB1,
∴A1E⊥BC1.
法二:
以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,
则A1(2,0,2),E(0,1,0),B(2,2,0),D(0,0,0),C1(0,2,2),A(2,0,0),C(0,2,0),
=(﹣2,1,﹣2),
=(0,2,2),
=(﹣2,﹣2,0),
=(﹣2,0,2),
=(﹣2,2,0),
∵
•
=﹣2,
=2,
=0,
=6,
∵sinα﹣cosα=
∴(sinα﹣cosα)2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=
∴sin2α=﹣
函数f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1,
可得f′(x)=(2x+a)ex﹣1+(x2+ax﹣1)ex﹣1,
x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1的极值点,
可得:
﹣4+a+(3﹣2a)=0.
解得a=﹣1.
可得f′(x)=(2x﹣1)ex﹣1+(x2﹣x﹣1)ex﹣1,
=(x2+x﹣2)ex﹣1,函数的极值点为:
x=﹣2,x=1,
当x<﹣2或x>1时,f′(x)>0函数是增函数,x∈(﹣2,1)时,函数是减函数,
x=1时,函数取得极小值:
f
(1)=(12﹣1﹣1)e1﹣1=﹣1.
13.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= 1﹣ln2 .
设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln(x+1)的切点分别为(x1,kx1+b)、(x2,kx2+b);
由导数的几何意义可得k=
,得x1=x2+1
再由切点也在各自的曲线上,可得
联立上述式子解得
;
从而kx1+b=lnx1+2得出b=1﹣ln2.
>1的解集为 (﹣∞,0) .
由
>1得:
故不等式的解集为:
(﹣∞,0),
故答案为:
(﹣∞,0).
垂直,则m= 7 .
∵向量
=(m,1),
∴
=(﹣1+m,3),
垂直,
∴(
)•
=(﹣1+m)×
(﹣1)+3×
2=0,
解得m=7.
7.
16.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=
.
∵2bcosB=acosC+ccosA,由正弦定理可得,
2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,
∵sinB≠0,
∴cosB=
∵0<B<π,
∴B=
(1)∠A=
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