6份江苏省高考数学二轮复习自主加餐的3大题型3个附加题综合仿真练Word下载.docx

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所以3＝acos，解得a＝6.

所以圆C的极坐标方程为ρ＝6cosθ.

法二：

点的直角坐标为（3,3），

因为圆C过点（0,0），（3,3），

所以圆心C在直线为x＋y－3＝0上．

又圆心C在极轴上，

所以圆C的直角坐标方程为（x－3）2＋y2＝9.

C．[选修4－5：

不等式选讲]

已知x，y，z为不全相等的正数．求证：

＋＋>

＋＋.

证明：

因为x，y，z都是正数，

所以＋＝≥.

同理可得＋≥，＋≥，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，

得＋＋≥＋＋.

由于x，y，z不全相等，因此上述三个不等式中等号至少有一个取不到，

所以＋＋>

2．在平面直角坐标系xOy中，直线l：

x＝－1，点T（3,0）．动点P满足PS⊥l，垂足为S，且·

＝0.设动点P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1,0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N.求证：

向量与共线．

（1）设P（x，y）为曲线C上任意一点.

因为PS⊥l，垂足为S，又直线l：

x＝－1，所以S（－1，y）．

因为T（3,0），所以＝（x，y），＝（4，－y）．

因为·

＝0，所以4x－y2＝0，即y2＝4x.

所以曲线C的方程为y2＝4x.

（2）证明：

因为直线PQ过点（1,0），

故设直线PQ的方程为x＝my＋1，P（x1，y1），Q（x2，y2）．

联立方程消去x，得y2－4my－4＝0.

所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

因为M为线段PQ的中点，所以M的坐标为，即M（2m2＋1,2m）．

又因为S（－1，y1），N（－1,0），

所以＝（2m2＋2,2m－y1），＝（x2＋1，y2）＝（my2＋2，y2）.

因为（2m2＋2）y2－（2m－y1）（my2＋2）＝（2m2＋2）y2－2m2y2＋my1y2－4m＋2y1＝2（y1＋y2）＋my1y2－4m＝8m－4m－4m＝0.

所以向量与共线．

3．一条直路上依次有2n＋1棵树，分别为T1，T2，…，T2n＋1（n为给定的正整数），一个醉汉从中间位置的树Tn＋1出发，并按以下规律在这些树之间随机游走n分钟：

当他某一分钟末在树Ti（2≤i≤2n）位置时，下一分钟末他分别有，，的概率到达Ti－1，Ti，Ti＋1的位置．

（1）求该醉汉第n分钟末处在树Ti（1≤i≤2n＋1）位置的概率；

（2）设相邻2棵树之间的距离为1个单位长度，试求该醉汉第n分钟末所在位置与起始位置（即树Tn＋1）之间的距离的数学期望（用关于n的最简形式表示）．

（1）不妨假设2n＋1棵树T1，T2，…，T2n＋1从左向右排列，每2棵树的间距为1个单位长度．

因为该醉汉下一分钟末分别有，，的概率到达Ti－1，Ti，Ti＋1的位置，

所以该醉汉将以的概率向左或向右走．

我们规定，事件“以的概率向左或向右走0.5个单位长度”为一次“随机游走”，

故原问题等价于求该醉汉从树Tn＋1位置出发，经过2n次随机游走后处在树Ti位置的概率为Pi.

对某个i（1≤i≤2n＋1），设从Tn＋1出发，经过2n次随机游走到达Ti的全过程中，向右走0.5个单位长度和向左走0.5个单位长度分别有k次和2n－k次，

则n＋1＋＝i，解得k＝i－1，即在2n次中有i－1次向右游走，2n－（i－1）次向左游走，

而这样的情形共C种，故所求的概率Pi＝（1≤i≤2n＋1）．

（2）对i＝1,2，…，2n＋1，树Ti与Tn＋1相距|n＋1－i|个单位长度，而该醉汉到树Ti的概率为Pi，故所求的数学期望E＝n＋1－i|.

而n＋1－i|C＝n－j|C

＝2（n－j）C＝2C－2C

＝2n－2nC

＝2n×

（C＋）－4n

＝n（C＋22n）－4n×

＝n（C＋22n）－2n·

22n－1＝nC，因此E＝.

2019年5月3个附加题综合仿真练

（二）（理科）

已知变换T将平面上的点，（0,1）分别变换为点，.设变换T对应的矩阵为M.

（1）求矩阵M；

（2）求矩阵M的特征值．

（1）设M＝，

则＝，＝，

即解得则M＝.

（2）设矩阵M的特征多项式为f（λ），

可得f（λ）＝＝（λ－3）（λ－4）－6＝λ2－7λ＋6，

令f（λ）＝0，可得λ＝1或λ＝6.

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：

ρsin＝m（m∈R），圆C的参数方程为（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．

由ρsin＝m，

得ρsinθcos－ρcosθsin＝m，即x－y＋m＝0，

即直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0，

圆C的普通方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9，

圆心C到直线l的距离d＝＝，

解得m＝－1或m＝－5.

已知x，y，z都是正数且xyz＝8，求证：

（2＋x）（2＋y）·

（2＋z）≥64.

因为x为正数，所以2＋x≥2.

同理2＋y≥2，2＋z≥2.

所以（2＋x）（2＋y）（2＋z）≥2·

2·

2＝8.

因为xyz＝8，所以（2＋x）（2＋y）（2＋z）≥64.

2．如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.

（1）求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；

（2）求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．

（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，

则A（3,0,0），C1（0,3,3），B（3，3,0），E（3,0,2），＝（－3,3,3），＝（0，－3,2），

所以cos〈，〉＝

＝＝－，

故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为.

（2）由

（1）知＝（0，－3,2），又D1（0,0,3），B1（3,3,3），

所以＝（3,0，－1），＝（0,0,3）．

设平面BED1F的法向量为n＝（x，y，z），

则即令x＝1，得y＝2，z＝3，n＝（1,2,3）是平面BED1F的一个法向量．

设直线BB1与平面BED1F所成的角为α，则

sinα＝＝＝，

所以直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值为.

3．对于给定的大于1的正整数n，设x＝a0＋a1n＋a2n2＋…＋annn，其中ai∈{0,1,2，…，n－1}，i＝0,1，2，…，n－1，n，且an≠0，记满足条件的所有x的和为An.

（1）求A2；

（2）设An＝，求f（n）．

（1）当n＝2时，x＝a0＋2a1＋4a2，a0∈{0,1}，a1∈{0,1}，a2＝1，

故满足条件的x共有4个，

分别为x＝0＋0＋4，x＝0＋2＋4，x＝1＋0＋4，x＝1＋2＋4，它们的和是22，所以A2＝22.

（2）由题意得，a0，a1，a2，…，an－1各有n种取法；

an有n－1种取法，

由分步计数原理可得a0，a1，a2…，an－1，an的不同取法共有n·

n·

…·

（n－1）＝nn（n－1），

即满足条件的x共有nn（n－1）个，

当a0分别取0,1,2，…，n－1时，a1，a2，…，an－1各有n种取法，an有n－1种取法，

故An中所有含a0项的和为（0＋1＋2＋…＋n－1）·

nn－1（n－1）＝；

同理，An中所有含a1项的和为（0＋1＋2＋…＋n－1）·

nn－1（n－1）·

n＝·

n；

An中所有含a2项的和为（0＋1＋2＋…＋n－1）·

n2＝·

n2；

An中所有含an－1项的和为（0＋1＋2＋…＋n－1）·

nn－1＝·

nn－1；

当an分别取i＝1,2，…，n－1时，a0，a1，a2，…，an－1各有n种取法，

故An中所有含an项的和为（1＋2＋…＋n－1）nn·

nn＝·

nn.

所以An＝（1＋n＋n2＋…＋nn－1）＋·

nn

＝·

＋·

＝（nn＋1＋nn－1），

故f（n）＝nn＋1＋nn－1.

2019年5月3个附加题综合仿真练（三）（理科）

设a，b∈R.若直线l：

ax＋y－7＝0在矩阵A＝对应的变换作用下，得到的直线为l′：

9x＋y－91＝0.求实数a，b的值．

在直线l：

ax＋y－7＝0上取点M（0,7），N（1，7－a），

由＝，＝，可知点M（0,7），N（1,7－a）在矩阵A对应的变换作用下分别得到点M′（0,7b），N′（3，b（7－a）－1），

由题意可知：

M′，N′在直线9x＋y－91＝0上，

∴解得

∴实数a，b的值分别为2,13.

设直线l上任意一点P（x，y），点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q（x′，y′），

则＝，

∴

由Q（x′，y′）在直线l′：

9x＋y－91＝0上，

∴27x＋（－x＋by）－91＝0，

即26x＋by－91＝0，

∵点P在ax＋y－7＝0上，

∴＝＝，

解得a＝2，b＝13.

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l：

（t为参数）与圆C：

ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0的位置关系．

把直线l的参数方程化为普通方程为x＋y＝2.

将圆C的极坐标方程ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0化为直角坐标方程为x2＋2x＋y2－2y＝0，

即（x＋1）2＋（y－1）2＝2.

所以圆心C（－1,1）到直线l的距离d＝＝，

所以直线l与圆C相切．

已知a，b∈R，a>

b>

e（其中e是自然对数的底数），求证：

ba>

ab.

∵ba>

0，ab>

0，∴要证ba>

ab，

只要证alnb>

blna,

只要证>

，

构造函数f（x）＝，x∈（e，＋∞）．

则f′（x）＝，x∈（e，＋∞），f′（x）<

0在区间（e，＋∞）上恒成立，

所以函数f（x）在x∈（e，＋∞）上是单调递减的，

所以当a>

e时，有f（b）>

f（a），

即>

，故ba>

ab得证．

2．从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成三位数的各位数字之和．

（1）求X是奇数的概率；

（2）求X的概率分布及数学期望．

（1）记“X是奇数”为事件A，

能组成的三位数的个数是4×

4×

3＝48.

X是奇数的个数是CCA－CCA＝28，

所以P（A）＝＝.

故X是奇数的概率为.

（2）X的可能取值为3,4,5,6,7,8,9.

当X＝3时，组成的三位数是由0,1,2三个数字组成，

所以P（X＝3）＝＝；

当X＝4时，组成的三位数是由0,1,3三个数字组成，

所以P（X＝4）＝＝