初中数学竞赛辅导资料(62).doc
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初中数学竞赛辅导资料(62)
绝对值
甲内容提要
1.绝对值的定义:
正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是零.用式子表示如下:
0
2
X<0
0 x>2 2.初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简,方程、不等式的解法,以及函数作图等.解答时,一般是根据定义先化去绝对值符号,这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负,若含有变量的代数式,不能确定其正、负时,则采取零点分区讨论法. 例如: (1)化简 解: 当x=0, x=2时, =0; 当x<0或x>2时, =x(x-2)=x2-2x; 当0 (2)解方程=6. 解: 当x<0时,x=-2; 当0≤x≤2时,方程无解; 当x>2时,x=4. ∴原方程的解是: x=-2,x=4.. (3)作函数y=的图象. 解: 化去绝对值符号,得y=-2x+2(x<0); y=2(0≤x≤2); y=2x-2(x>2). 分别作出上述三个函数的图象(如图),就是函数y=的图象. 3.绝对值的几何意义是: 在数轴上一个数的绝对值,就是表示这个数的点离开原点的距离. 用这一定义,在解含绝对值符号的方程、不等式时,常可用观察法. 例如: ①解方程; ②解不等式; ③解不等式. 解: ①∵的几何意义是: x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数,即3和-3, ∴方程的解是x=3,x=-3. ②∵的几何意义是: x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数,∴不等式的解集是 -3<x<3. ③∵的零点是x=-2, ∴的几何意义是: x是数轴上到点(-2)的距离大于3个单位的点所表示的数, ∴的解集是x<-5或x>1.(如下图) 1 -20 --5 4.绝对值的简单性质: ①绝对值是非负数; ②两个互为相反数,它们的绝对值相等. 根据这些性质,可简化函数的作图步骤. 例如: (1)对整个函数都在绝对值符号内时,可先作出不含绝对值符号的图象,再把横轴下方的部份,绕x轴向上翻折 作函数图象: ①y= ②y= (2)当f(-x)=f(x),图象关于纵轴对称,这时可先作当x<0时函数图象,再画出关于纵轴对称的图象. 例如: y=x2-2-3的图象, 可先作y=x2+2x-3自变量x<0时的图象(左半图) 再画右半图(与左半图关于纵轴对称). (3)把y=的图象向上平移个单位,所得图象解析式是y=; 把y=的图象向右平移3个单位,所得图象解析式是y=. (4)利用图象求函数最大值或最小值,判断方程解的个数都比较方便. 乙例题 例1.已知方程=ax+1有一个负根并且没有正根,求a的值. (1987年全国初中数学联赛题) 解: 当x<0时,原方程为-x=ax+1, x=, ∴a+1>0. ∴a>-1; 当x>0时,原方程为x=ax+1, x=, ∴1-a>0. ∴a<1. ∵方程有一个负根并且没有正根, ∴a>-1且a≮1, ∴a的取值范围是a≥1. 例2.求函数y=2的最小、最大值. 解: 当x<0时, y=-x+6; 当0≤x<3时,y=-3x+6; 当x≥3时, y=x-6. 根据图象有最低点而没有最高点 ∴函数没有最大值只有最小值-3(当x=3时). 例3. 解方程: ①; ②. 解: ①∵点(x)到点A(-2)和点B(4)的距离相等(如下图), ∴x=1. ②∵点(x)到点A(-1)与到点B (2)的距离的和等于4,=3 ∴x=2.5, x=-1.5. 例4.解不等式: ①1≤≤3; ②. 解: ①点(x)到点A(-2)的距离大于或等于1而小于或等于3 在数轴上表示如图, ∴不等式的解集是: -5≤x≤-3 或-1≤x≤1 ②点(x)到点(-1)的距离,比到点 (2)的距离大1个单位以上. 在数轴上表示,如图: ∴不等式的解集是x>1. 例5. a取什么值时,方程有三个整数解? (1986年全国初中数学联赛题) 解: 化去绝对值符号,得=±a,=1±a,x-2=±(1±a), ∴x=2±(1±a). 当a=1时,x恰好是三个解4,2,0. 用图象解答更直观; (1)先作函数y=图象, (2)再作y=a(平行于横轴的直线)与y=图象相交, 恰好是三个交点时,y=1, 即a=1. 本题若改为:
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