学年江苏省无锡市高二第二学期期末考试数学文试题解析版Word下载.docx
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本题考查了根式、分母有意义的条件,函数定义域的定义,是基础题。
3.若函数在上单调递减,则的最小值为__________.
【答案】2
二次函数单调递减,满足对称轴大于等于1即可。
二次函数在上单调递减,则对称轴大于等于1,即
所以
所以m的最小值为2
本题考查了二次函数单调性问题,关键是分析对称轴与单调区间的关系,属于基础题。
4.某班共有人,有围棋爱好者人,有足球爱好者人,同时爱好这两项的人数为,则所有的可能值构成的集合__________.
根据集合的交集、补集关系,确定同时两项运动都喜欢的最多人数,两项运动都不喜欢的最少人数,即可通过交集判断m构成的集合。
因为足球爱好者比围棋爱好者人数多,所以同时爱好这两项的人数最多有22人
既不爱好足球,也不爱好围棋的人最多有2人,最少0人
所以同时爱好足球和围棋的人数最少为20人,
所以所有m可能值组成的集合为
本题考查了集合的交集、补集在实际问题中的综合应用,对分析问题、解决问题需要很强的条理性,属于中档题。
5.若函数的图象相邻最高点与最低点横坐标之差为,且图象过点,则其解析式为__________.
根据相邻最高点与最低点横坐标之差,可求得周期;
根据过定点,即可求得的值,进而得到函数表达式。
因为图象相邻最高点与最低点横坐标之差为
所以;
由正弦函数的周期
代入原式得
因为过点
所以,又因为,所以
本题考查了根据函数的周期和定点问题求三角函数的解析式,属于基础题。
6.已知复数,满足,则__________.
根据复数的模都为1,可求得及间的关系,根据方程,得;
表示出,代入即可求值。
设
因为
所以
即化简得
本题主要考查了复数模的定义及其相关运算,运算过程中注意熟练运用解题的技巧,属于基础题。
7.设向量,,,且,则__________.
【答案】7
根据向量的线性运算,求得,根据向量垂直时坐标间满足的关系即可求得k的值。
根据向量的坐标运算
解得
本题考查了向量的线性运算、坐标运算和垂直时坐标间的关系,综合性强,但难度不大。
8.已知,则__________.
根据诱导公式和同角三角函数关系式,对三角函数表达式进行变形应用。
因为,所以
本题考查了三角函数诱导公式和同角三角函数关系式的综合应用。
熟练掌握“奇变偶不变,符号看象限”的判断原则,属于中档题。
9.已知函数,若存在两个互不相等的实数,,满足,则__________.
【答案】1
根据对数的运算性质和绝对值表达式,化简即可求得的值。
所以,因为
所以,即
本题主要考查了对数的运算性质和去绝对值,化简变形中注意符号变化,属于中档题。
10.平面上画条直线,且满足任何条直线都相交,任何条直线不共点,则这条直线将平面分成__________个部分.
根据几何图形,列出前面几项,根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。
1条直线将平面分成2个部分,即
2条直线将平面分成4个部分,即
3条直线将平面分为7个部分,即
4条直线将平面分为11个部分,即,所以
….
根据累加法得
本题综合考查了数列的累加法、归纳推理的综合应用。
在解题过程中,应用归纳推理是解决较难题目的一种思路和方法,通过分析具体项,找到一般规律,再分析解决问题,属于中档题。
11.已知,且,则实数的范围为__________.
去绝对值,分类讨论在x取不同值时函数的单调性;
根据函数的图像特征判断不等式成立的条件。
去绝对值得
当时,不等式恒成立,解不等式得
当时,需,解不等式得
所以的取值范围为
本题考查了绝对值函数与单调性、不等式的关系,主要是依据函数图像分析不等式成立条件,因而得到解集,属于难题。
12.已知,,则__________.
根据三角函数表达式特征,同时平方相加,得到余弦的差角公式;
对所求的用二倍角公式变形,即可得到答案。
因为,
所以对两个式子两边同时平方,得
两式相加得
所以根据余弦差角公式,合并得
本题考查三角函数表达式变形、二倍角公式的综合应用,关键是分析出三角函数表达式的特征,灵活变形应用,属于中档题。
13.如图,正方形的边长为,三角形是等腰直角三角形(为直角顶点),,分别为线段,上的动点(含端点),则的范围为__________.
建立平面直角坐标系,利用点的坐标和坐标的取值范围求得的范围。
以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴,以A为坐标原点建立平面直角坐标系
因为的边长为,三角形是等腰直角三角形
所以,设
因为,所以
由基本不等式,得
即的范围为
本题考查了向量在解决数量积问题中的应用,建立平面直角坐标系是解决向量问题简单而直接的方法,需要灵活运用,属于中档题。
14.设函数,若方程恰好有个零点,则实数的取值范围为__________.
根据分段函数表达式,分段分离参数m;
根据函数图像判断m的取值范围。
关键注意也是函数的一个零点。
当时,,所以是方程的一个零点;
当时,,所以
当时,,则
画出关于m的函数图像,如下图
所以满足有两个交点的m取值范围为,因为也是一个零点
所以有3个零点的m取值范围为
本题考查了分离参数法在解决零点个数问题中的应用,特别注意的特殊情况,否则得不到3个解,要结合图像综合分析,属于难题。
二、解答题
15.已知复数在复平面内对应的点位于第二象限,且满足.
(1)求复数;
(2)设复数满足:
为纯虚数,,求的值.
(1);
(2).
(1)解一元二次方程,得到,根据在复平面内对应的点位于第二象限,即可判断的取值。
(2)根据复数的乘法运算、纯虚数的概念、模的定义,联立方程求得x、y的值,进而求得的值。
(1)因为,所以,
又复数对应的点位于第二象限,
所以;
(2)因为,
又为纯虚数,所以,
有得,
解得,或,;
所以.
本题考查了复数相等、纯虚数等概念和复数的混合运算,对基本的运算原理要清晰,属于基础题。
16.如图,角的终边过点,,.
(1)求和的值;
(2)求点的坐标.
(2).
(1)根据三角函数在平面直角坐标系中的定义和点,即可求出,的值。
(2)根据正弦余弦的和角公式,结合化简求出C点坐标。
(1)因为角的终边过点,所以,
所以,;
所以,
,
又,所以点的坐标为.
本题考查了平面直角坐标系中三角函数的定义,三角函数和角公式的综合应用,关键在于分析出解决问题的思路和方法,属于基础题。
17.如图,在中,,,且,为边上的中点,.
(1)求的值;
(2)求的值.
(1)根据向量的线性运算,得到,再由向量数量积求得,根据同角三角函数关系式求出的值。
(2)用表示出的值,进而通过
(1)求出的求值。
(1)因为,
所以,解得,
,所以;
,
.
本题考查了向量线性运算在求角度、数量积中的应用,核心是用两个基向量表示所要求得的向量,最后利用角度化简求值,属于中档题。
18.已知函数是奇函数.
(2)用定义证明:
函数是上的增函数;
(3)若对一切实数满足,求实数的范围.
(1)2;
(2)见解析;
(3).
(1)根据奇函数是定义在R上的函数,利用可求出m的值。
(2)根据定义证明函数单调性的步骤,一设二差三符号四结论证明即可。
(3)根据奇函数的定义和函数单调递增的性质,可化简分离参数式得,根据函数恒成立问题,所以依据三角函数取值有范围的性质,求出实数的范围。
(1)因为函数是奇函数,且在处有意义,所以
,即,解得;
(2)任取,且,
则,
因为,所以,所以,即,
所以函数是上的增函数;
(3)因为对一切实数满足:
所以有,
即对一切恒成立.
所以,即.
本题考查了函数的奇偶性、单调性及其综合应用,恒成立问题和分离参数法通常结合起来应用,对综合能力要求较高,属于中档题。
19.已知函数,将函数图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将所得函数图象向左平移个单位,得到函数.
(1)求的解析式;
(2)若关于的方程,有个不同的根.求实数的取值范围.
(1)根据先伸缩,再平移函数图像变换特征,得到函数解析式。
(2)将方程化为关于的方程,令,根据三角函数值域有范围的性质,结合x的取值范围求得有4个根时m的取值范围。
(2)关于的方程,可化为,
即,
令,,
当是方程的根时,只有个根,不符合题意.
所以关于的方程,有个不同的根,等价于
关于的方程在上有两个不同的根,
令,则有,
解得.
本题考查了三角函数图像的平移变换、换元法在求值域时的应用,属于中档题。
20.已知函数,.
(1)问:
能否为偶函数?
请说明理由;
(2)总存在一个区间,当时,对任意的实数,方程无解,当时,存在实数,方程有解,求区间.
(1)不可能是偶函数;
(1)根据偶函数定义,分类讨论不同情况下是否存在偶函数的可能。
(2)讨论在x取正数、负数两种不同情况下的解集;
再对每个情况下对a进行分类讨论存在性成立的条件。
(1)定义域为关于原点对称,
当时,为偶函数,
当时,,则,
则,
若,则,
所以不可能恒等于零,
即不可能是偶函数.
(2)先考虑,
①当时,无解;
②当时,,只有当时,才有,
③当时,可化为,
所以,
因为不是上式的根,所以,
解得,
即当时,;
再考虑,
综上,区间.
本题考查了绝对值函数的综合应用,要对定义域、参数分别分析讨论,要求思考过程严谨,逻辑清晰,属于难题。
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