学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式22基本不等式教学案新人教A版必修第一册.docx
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学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式22基本不等式教学案新人教A版必修第一册
2.2基本不等式
(教师独具内容)
课程标准:
1.掌握基本不等式的内容.2.能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握基本不等式及变形的应用.5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
教学重点:
1.理解基本不等式的内容及其证明过程.2.运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
教学难点:
基本不等式条件的创设.
【知识导学】
知识点
一 基本不等式
如果a>0,b>0,则
≤
,当且仅当a=b时,等号成立.我们把这个不等式称为基本不等式.
知识点
二 算术平均数与几何平均数及相关结论
在基本不等式中,
叫做正数a,b的算术平均数,
叫做正数a,b的几何平均数.
基本不等式表明:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
知识点
三 基本不等式与最大(小)值
当x,y均为正数时,下面的命题均成立:
(1)若x+y=S(S为定值),则当且仅当
x=y时,xy取得最
大值
;(简记:
和定积有最大值)
(2)若xy=P(P为定值),则当且仅当
x=y时,x+y取得最
小值
2
.(简记:
积定和有最小值)
知识点
四 基本不等式的实际应用
基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题,具体步骤如下:
(1)先理解题意,设出变量,设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为因变量.
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为
函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内,求出
函数的最大值或最小值.
(4)根据实际意义写出正确的答案.
【新知拓展】
1.由基本不等式变形得到的常见结论
(1)ab≤
2≤
(a,b∈R);
(2)
≤
≤
(a,b均为正实数);
(3)
+
≥2(a,b同号);
(4)(a+b)
≥4(a,b同号);
(5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).
2.利用基本不等式证明不等式时应注意的问题
(1)注意基本不等式成立的条件;
(2)多次使用基本不等式,要注意等号能否成立;
(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
3.利用基本不等式的解题技巧与易错点
(1)利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧:
①加项变换;
②拆项变换;
③统一换元;
④平方后再用基本不等式.
(2)易错点
①易忘“正”,忽略了各项均为正实数;
②忽略忘记“定”,用基本不等式时,和或积为定值;
③忽略忘记“等”,用基本不等式要验证等号是否可以取到;
④忽略忘记“同”,多次使用基本不等式时,等号成立的条件应相同.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)
≥
对于任意实数a,b都成立.( )
(2)若a>0,b>0,且a≠b,则a+b>2
.( )
(3)若a>0,b>0,则ab≤
2.( )
(4)若a>0,b>0,且a+b=16,则ab≤64.( )
(5)若ab=2,则a+b的最小值为2
.( )
答案
(1)×
(2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)不等式m2+1≥2m等号成立的条件是________.
(2)
+
≥2成立的条件是________.
(3)x>1,则x+
的最小值为________.
(4)已知p,q∈R,pq=100,则p2+q2的最小值是________.
(5)若a>0,b>0,且a+b=2,则
+
的最小值为________.
答案
(1)m=1
(2)a与b同号 (3)3 (4)200 (5)2
题型一对基本不等式的理解
例1 给出下面三个推导过程:
①因为a>0,b>0,所以
+
≥2
=2;
②因为a∈R,a≠0,所以
+a≥2
=4;
③因为x,y∈R,xy<0,所以
+
=-
≤-2
=-2.
其中正确的推导过程为( )
A.①②B.②③
C.②D.①③
[解析] 从基本不等式成立的条件考虑.
①因为a>0,b>0,所以
>0,
>0,符合基本不等式成立的条件,故①的推导过程正确;
②因为a∈R,a≠0不符合基本不等式成立的条件,
所以
+a≥2
=4是错误的;
③由xy<0得
,
均为负数,但在推导过程中将
+
看成一个整体提出负号后,
,
均变为正数,符合基本不等式成立的条件,故③正确.
[答案] D
金版点睛
基本不等式
≥
(a>0,b>0)的两个关注点
(1)不等式成立的条件:
a,b都是正实数.
(2)“当且仅当”的含义:
①当a=b时,
≥
的等号成立,
即a=b⇒
=
;
②仅当a=b时,
≥
的等号成立,
即
=
⇒a=b.
下列命题中正确的是( )
A.当a,b∈R时,
+
≥2
=2
B.当a>0,b>0时,(a+b)
≥4
C.当a>4时,a+
≥2
=6
D.当a>0,b>0时,
≥
答案 B
解析 A项中,可能
<0,所以不正确;B项中,因为a+b≥2
>0,
+
≥2
>0,相乘得(a+b)
≥4,当且仅当a=b时等号成立,所以正确;C项中,a+
≥2
=6中的等号不成立,所以不正确;D项中,由基本不等式,知
≤
(a>0,b>0),所以D不正确.
题型二利用基本不等式比较大小
例2 已知a>1,则
,
,
三个数的大小顺序是( )
A.
<
<
B.
<
<
C.
<
<
D.
<
≤
[解析] 当a,b均为正数时,有
≤
≤
≤
,
令b=1,得
≤
≤
.
又a>1,即a≠b,故上式不能取等号,应选C.
[答案] C
[题型探究] 对一切正数m,不等式n<
+2m恒成立,求常数n的取值范围.
解 当m>0时,由基本不等式,得
+2m≥2
=4
,且当m=
时,等号成立,故n的取值范围为n<4
.
金版点睛
利用基本不等式比较大小
在利用基本不等式比较大小时,应创设应用基本不等式的使用条件,合理地拆项、配凑或变形.在拆项、配凑或变形的过程中,首先要考虑基本不等式使用的条件,其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能.
已知:
a>0,b>0,且a+b=1,试比较
+
,
,4的大小.
解 ∵a>0,b>0,a+b≥2
,
∴ab≤
.
∴
+
=
=
≥4,
=
=
-ab≥
-
=
,
即
≤4.
∴
+
≥4≥
.
题型三利用基本不等式求函数的最值
例3
(1)求函数y=
+x(x>3)的最小值;
(2)已知0 ,求y=x(1-3x)的最大值; (3)已知x>-1,求y= 的最小值. [解] (1)∵y= +x= +(x-3)+3, 又x>3,∴x-3>0, >0, ∴y≥2 +3=5. 当且仅当 =x-3,即x=4时,y有最小值5. (2)∵0 ,∴1-3x>0, y=x(1-3x)= ·3x·(1-3x) ≤ 2= . 当且仅当3x=1-3x,即x= 时,取等号, ∴当x= 时,函数取得最大值 . (3)∵x>-1,∴x+1>0, y= = =x+1+ +1 ≥2 +1, 当且仅当x+1= 时, 即x= -1时,函数y的最小值为2 +1. [变式探究] 在本例 (1)中把“x>3”改为“x<3”,则函数y= +x的最值又如何? 解 ∵x<3,∴x-3<0, ∴y= +x=- -(3-x)+3 =- +3≤-2 +3 =-2+3=1. 当且仅当 =3-x,即x=2时,取等号. 故函数y= +x(x<3)有最大值1,没有最小值. 金版点睛 利用基本不等式求函数的最值 (1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件. (2)等号取不到时,注意利用求函数最值的其他方法. (1)已知x< ,则函数y=4x-2+ 的最大值为________; (2)若x>1,则函数y= 的最小值为________. 答案 (1)1 (2)4 解析 (1)∵x< ,∴5-4x>0. ∴y=4x-2+ =- +3 ≤-2 +3=-2+3=1, 当且仅当5-4x= , 即x=1时,上式等号成立. 故当x=1时,ymax=1. (2)∵x>1,∴x-1>0. ∴y= = =x+1+ =x-1+ +2≥2+2=4, 当且仅当 =x-1,即x=2时,等号成立, 故当x=2时,ymin=4. 题型四利用基本不等式证明不等式 例4 已知a,b,c是不全相等的三个正数, 求证: + + >3. [证明] + + = + + + + + -3= + + -3. ∵a,b,c都是正数, ∴ + ≥2 =2, 同理 + ≥2, + ≥2, ∴ + + ≥6. ∵a,b,c不全相等,上述三式不能同时取等号, ∴ + + >6, ∴ + + >3. 金版点睛 利用基本不等式证明不等式 (1)利用基本不等式证明不等式时,可依据求证式两端的式子结构,合理选择基本不等式及其变形不等式来证,如a2+b2≥2ab(a,b∈R),可变形为ab≤ ; ≥ (a>0,b>0)可变形为ab≤ 2等.同时要从整体上把握基本不等式,如a4+b4≥2a2b2,a2b2+b2c2≥2(ab)(bc),都是对“a2+b2≥2ab,a,b∈R”的灵活应用. (2)在证明条件不等式时,要注意“1”的代换,另外要特别注意等号成立的条件. 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1. 求证: + + ≥10. 证明 + + = + + =4+ + + ≥4+2+2+2=10, 当且仅当a=b=c= 时取等号. ∴ + + ≥10. 题型五利用基本不等式求代数式的最值 例5 (1)已知x>0,y>0且 + =1,求x+y的最小值; (2)已知正实数x,y满足2x+y+6=xy,求xy的最小值; (3)已知实数x,y满足x2+y2+xy=1,求x+y的最大值. [解] (1)∵x>0,y>0, + =1, ∴x+y= (x+y)= + +10≥6+10=16,当且仅当 = ,又 + =1, 即x=4,y=12时,上式取等号. 故当x=4,y=12时,(x+y)min=16. (2)∵2x+y+6=xy, ∴y= ,x>1,xy= = = =2 =2 ≥2× =18. 当且仅当x=3时,等号成立. (3)因为1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy≥(x+y)2- 2,所以(x+y)2≤ , 即x+y≤ ,当且仅当x=y>0且x2+y2+xy=1, 即x=y= 时,等号成立,x
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