怎样解答高考数学题.docx

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怎样解答高考数学题

数学高考与高考解题

罗增儒（1945—），男，广东惠州人，1962年就读中山大学，毕业后长期当矿山职工和子弟学校教师．现为陕西师范大学数学系教授，课程与教学论（数学）博士生导师，享受国务院的政府特殊津贴，著有《数学解题学引论》、《数学竞赛导论》、《中学数学课例分析》、《怎样解答高考数学题》、《怎样解答中考数学题》、《数学的领悟》、《直觉探索方法》、《零距离数学交流》、《中学数学解题的理论与实践》等书300万字，发表文章300多篇．从1980年开始，几十年如一日研究高考、竞赛的解题与命题，项目《着眼数学素质服务基础教育——数学高考解题理论的建设》曾获省级优秀教学成果奖，项目《奥林匹克数学学科建设》曾获国家级优秀教学成果奖．

0数学高考

0.1数学高考的全程工作

从1977年恢复高考，历史走过了波澜壮阔的30多个春秋，环绕着高考工作的文化积累正在考试学、人才学和数学等维度形成学术成果．我期待着数学高考学的诞生．数学高考的全程工作有4个基本问题:

（1）掌握数学知识问题——怎样复习．（教育学）

（2）提高解题能力问题——怎样解题．（数学）

（3）运用考试技术问题——怎样答题．（考试学）

（4）科学填报志愿问题——怎样选择．（运筹学）

其中，最核心的是解题，搞好复习是为解题积聚力量，运用考试技术是为解题作充分的发挥，分段得分技术是解题策略的运用．解题能力是数学高考的核心竞争力．

0.2数学高考命题的风格

高考命题一直在“稳中求进，稳中求变、稳中求新”，探索公平选拔、为素质教育服务的道路，已形成了一些稳定性的风格和值得注意的导向.

（1）在全面考查“基础知识、基本技能、基本方法”的基础上，更突出数学思想方法的考查，突出数学与现实生活的联系.

全面覆盖了中学数学教材中的理科15个、文科13个知识模块，知识点的覆盖面达60%（约涉及70～80个知识点）；同时，试卷突出学科的核心内容，集合与函数、立体几何、解析几何、数列、不等式、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，整体结构合理，也达到了必要的考查深度；此外，在模块单一型试题为主体的基础上还会进行知识之间的交叉、渗透和综合．

试卷在全面覆盖基础知识的同时，会注重能力的考查，特别是逻辑思维能力，运算能力和空间想象能力．至于实践能力和创新意识方面则是努力体现．（五个能力）

在数学思想方法方面，七个基本数学思想在试卷中都会涉及，其中，函数与方程的数学思想方法、数形结合的数学思想方法、化归与转化的数学思想方法会体现得较为突出．中学阶段基本数学思想方法主要“有用字母表示数的基本思想方法”，“集合与对应的基本思想方法”，以及

●函数与方程的基本数学思想．（通过函数题，综合题）

●数形结合的基本数学思想．（通过函数题，解析几何综合题，构造图形等）

●分类与整合的基本数学思想．（通过综合题，排列组合题，参数讨论题）

●化归与转化的基本数学思想．（通过综合题）

●特殊与一般的基本数学思想．（通过综合题）

●有限与无限的基本数学思想．（通过极限、微积分函数题）

●或然与必然的基本数学思想．（通过概率、统计题）

主要解题方法（待定系数法、换元法、配方法、反证法、代入法、消元法、数学归纳法）会有不同程度的体现．

（2）在主体上考查中学数学的同时，会体现进一步学习高等数学的需要.特别是一些有挑战性的压轴题，尤其各省独立命题之后，更是“注重理论数学，检测考生后继学习的潜能”（有人看到了高考与竞赛的相互渗透）.

（3）新课程理念的渗透.虽然新世纪课程改革刚刚起步（高中教材才开始试用），但其三维目标和十个基本理念会开始渗透（课程改革改到哪里，高考改革也改到哪里）.如，命题范围拓展了，出现人文关怀，体现“情感、态度、价值观”课程目标.

（4）在命题技术上，可以看到：

以教材为依据，又不拘泥于教材.

在知识交汇处设计命题.

能力立意.改变了过去的知识立意.

减少题量，降低难度，增加学生分析思考的时间.

对三类题型设计了两个从易到难的三个小高潮.

变小量难题把关为全卷把关.

试题切入容易深入难（阶梯题）.

避免死记硬背的内容和繁琐的运算（试卷提供难记易忘的公式）.

文理分卷，难度有区别（姐妹题）.

0.3数学高考复习的组织工作

（1）指导思想

（2）高考复课的阶段安排

（3）数学复习题的编拟

（4）数学模拟考试的组织与讲评

（5）数学高考临场的策略

0.4数学高考的研究工作

（1）高考数学的特征

（2）数学高考解题的特点

（3）数学高考选择题的求解

（4）数学高考填空题的求解

（5）数学高考解答题的求解

（6）数学高考解题的错误分析（解对了也会有策略性错误）

（7）高考数学命题的研究

（8）数学高考试卷的构成

（9）数学高考的题型

（10）数学高考设问的研究

（11）数学高考难度的研究

（12）数学高考赋分的研究

（13）……

0.5高考临场的基本建议

（1）保持内紧外松的临战状态.

（2）使用适应高考的答题策略.

（3）运用应对选拔的考试技术.

高考答题的技术

●提前进入角色.

●迅速摸清“题情”.

●执行“三个循环”.

●做到“四先四后”.

●答题“一慢一快”.

●立足中下题目，力争高上水平.

●立足一次成功，重视复查环节.

●内紧外松.

0.6高考填报志愿.

●升学优先.

●就业优先.

●专业优先.

●成本优先.

●地区优先.

●几项兼顾.

●家长决定.

1解答高考数学题的必要基础

1-1明确解题过程

1-1-1数学解题的一般程序（波利亚：

《怎样解题》）

⑴弄清题意

主要是弄清条件是什么?

结论是什么?

各有几个?

如何建立条件与结论之间的逻辑联系?

例1已知三个方程

中至少有一个方程有实根，求实数

的取值范围．

解法1若正面求解，三个方程至少有一个方程有实根，将出现7种可能，情况复杂，但其反面则只有一种情况：

三个方程都没有实根，问题变得极为简单．有

即

得

．

再求补集，得三个方程至少有一个方程有实根时实数

的取值范围为

．

评析这个解法思路是可行的，答案是正确的，但由“7种可能，情况复杂”，得出“正面求解，情况复杂”却是认识的封闭和逻辑的混乱．“三个方程至少有一个方程有实根时实数

的取值范围”就是三个集合

的并集，其求解并不比解法1复杂．

解法2“三个方程至少有一个方程有实根”就是第一个方程有实根、或第二个方程有实根、或第三个方程有实根，得

①

或

②

或

③

求①、②、③的并集，可得三个方程至少有一个方程有实根时实数

的取值范围为

．

评析由上面的两个解法可以看到

（1）问题表征影响解题方向与解题长度．将“三个方程至少有一个方程有实根”表征为7种可能：

某个方程有实根3种可能、某两个方程有实根3种可能、三个方程都有实根1种可能，接下来还有7种情况的合并，书写量确实较大；解法1只看到这一思路“情况复杂”，没有看透复杂的原因，其提出的“反面求解”思路虽然可行，但未必就比“正面求解”的解法2平坦；所以，我们从这三个思路中看到了问题表征对解题方向与解题长度的影响．

（2）知识影响解题．其实，由集合运算的性质

知，解法1与解法2是等价的，解法1的作者要是调动起了这一知识，就不至于对“正面求解”一概得出消极的结论．

（3）反思有助于理解．如果对列举“7种可能”的思路作反思就会看到，这种先分后合的步骤，其实已使得后4种情况的书写成为简单重复或多余回路；同样，如果对解法1作反思，也有机会发现“反面求解”其实有“正面求解”的等价思路．

例2满足条件

的所有集合

的个数是

（A）1（B）2（C）3（D）4

审题：

是

的子集，

，得

（1）正面：

中含有3的子集个数.

（2）反面：

中不含3的子集个数.

⑵拟定计划

探索解题思路的发现过程，波利亚的建议是分两步走：

●努力在已知与未知之间找出直接的联系（模式识别等）；

●如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某些必要的变更或修改，引进辅助问题，为此，波利亚又进一步建议：

看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化，一般化，类比等，积极诱发念头，努力变化问题．这实际上是阐述和应用解题策略，并进行资源的提取与分配，基础是“过去的经验和已有的知识”．

⑶实现计划，

是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置．

⑷回顾

“回顾”是最容易被忽视的阶段．波利亚解题表中的“回顾”并不完全是常规解题中的“检验”（正确性的保证，解题的必要步骤），主要是有分析地领会所得的解法，它包含着把“问题及其解法”（认知）作为对象进行自觉反思的元认知意图．

●在内容上，弄清用到了哪些知识？

哪些方法？

●在组织上，弄清先用哪些知识（方法）？

后用哪些知识（方法）？

哪个与哪个作了配合？

组成一个怎样的逻辑结构？

（临场可能就来不及回顾了）

1-1-2数学解题的信息过程

（1）有用捕捉．即通过观察从理解题意中捕捉有用的信息，主要是弄清条件是什么?

结论是什么?

各有几个?

如何建立条件与结论之间的逻辑联系?

捕捉有用的符号信息和形象信息．知识经验是有用捕捉的基础．

（2）有关提取．即在“有用捕捉”的刺激下，通过联想而从解题者头脑中提取出解题依据与解题方法．良好的认知构结和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础．

（3）有效组合．将上述两组信息资源，加工配置成一个和谐的逻辑结构．逻辑思维能力是有效组合的基础．其基本要求应能说服自己、说服朋友、说服论敌．

图1

例3[1993.（23）]设

4x-2x+1（x≥0），则

=.①

解说从题目中可得两个信息：

（1）是

表达式；

（2）是反函数

的自变量的取值为0.

从记忆储存中提取函数与反函数的关系作为解题的依据：

，①

得

.

再从“原课本P60例1”的回忆中，得出指数方程的解

，②

再一次应用函数与反函数的关系：

.③

解题的信息过程如下图，有5条信息组成的一个和谐的逻辑结构：

图2

请注意,其中

的条件保证了反函数的存在性,否则

在R上没有反函数．

1-1-3数学解题的心理机制

解题的心理过程是在问题的条件及结论的启发下，激活记忆网络中的一些知识点，然后沿接线向外扩散，依次激活新的有关知识，同时，要对被激活的知识进行筛选、组织、评价、再认识和转换，使之协调起来，直到条件与结论之间的线索接通，建立起逻辑演绎关系．（扩散——激活）

图3

1-2夯实解题基础

冒着过于简单化的风险，解题可以理解为“把知识内容连接成一个逻辑链条”，因此，解题首先要有知识基础和组织知识内容的思维能力，同时在调动和配置知识内容时还需要经验与良好的心理．所以，尽管解题的成功取决于我们尚未彻底弄清的多种因素，但最基本的应有：

解题的知识因素，解题的能力因素，解题的经验因素和解题的情感因素，这也就是我们常说的解题基本功．

值得注意的是，解题不仅是知识的使用而且也是知识的理解，不仅是能力的运用而且也是能力的培养，不仅是经验的呈现而且也是经验的积累，不仅是情感的表现而且也是情感的养成．一句话，解题不仅仅是基本功的简单体现，而且更是基本功的继续学习（庸者重在输出，智者重在输入），同样是“天天画蛋”，有的人“熟而生厌”、“熟而生笨”，而达芬奇却画出个国际大师．

1-2-1解题的知识因素（认知结构）

人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借．丰富的知识并加以优化的结