高考数学 黄金100题系列 第33题 三角函数的单调性奇偶性对称性与周期性 理Word文件下载.docx
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,取可得y=f(x)的图像关于直线x=对称,选项B正确;
,函数的零点满足,即,取可得f(x+π)的一个零点为x=,选项C正确;
当时,,函数在该区间内不单调,选项D错误.故选D.
例例.(2017天津,理7)设函数,,其中,.若,,且的最小正周期大于,则
A.,B.,
C.,D.,
【答案】
【解析】由题意,其中,∴,又,∴,∴,,由得,故选A.
例.(2017浙江)已知函数f(x)=sin2x–cos2x–sinxcosx(xR).
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间.
【答案】
(Ⅰ)2;
(Ⅱ)最小正周期为,单调递增区间为.
(Ⅰ)由函数概念,分别计算可得;
(Ⅱ)化简函数关系式得,结合可得周期,利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间.
试题解析:
(Ⅰ)由,,
得
(Ⅱ)由与得
∴的最小正周期是
由正弦函数的性质得
解得
∴的单调递增区间是.
例3.(2016高考北京文数)已知函数的最小正周期为.
(1)求的值;
(2)求的单调递增区间.
(Ⅰ);
(Ⅱ)().
【分析】
(Ⅰ)运用两角和的正弦公式对化简整理,由周期公式求的值;
(Ⅱ)根据函数的单调递增区间对应求解即可.
(I)∵
,∴的最小正周期.依题意,,解得.
(II)由(I)知.函数的单调递增区间为().
由,得.
∴的单调递增区间为().
【命题意图】本题考查两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.考查学生分析问题解决问题能力、转化与化归能力.
【考试方向】这类试题在考查题型上,通常以选择题或填空题或解答题的形式出现,难度中等.
【难点中心】解答此类问题的关键是能综合运用三角公式化为形式,再进一步讨论相关性质.
(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,则最小正周期为;
奇偶性的判断关键是解析式是否为y=Asinωx或y=Acosωx+b的形式.
(2)求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的对称轴,只需令,求x;
求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)即可.
例4.(2016高考浙江理数】设函数,则的最小正周期()
A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关
【答案】B
【解析】试题分析:
,其中当时,,此时周期是;
当时,周期为,而不影响周期.故选B.
例5.(2016高考山东理数】函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx–sinx)的最小正周期是()
(A)(B)π(C)(D)2π
【解析】,故最小正周期,故选B.
III.理论基础·
解题原理
考点一三角函数的单调性
在上单调递增,在上单调递减,当时,;
当时,;
在上单调递增.
考点二三角函数的周期性
函数的最小正周期为,的最小正周期为.
考点三三角函数的奇偶性
对于函数,当且仅当时是奇函数,当且仅当时是偶函数;
对于函数,当且仅当时是奇函数,当且仅当时是偶函数.
考点四三角函数的对称性
的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,其对称轴是直线,其对称中心是;
的图像不是轴对称图形,是中心对称图形,其对称中心是.
IV.题型攻略·
深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上,通常以选择题或填空题的形式出现,难度中等.
【技能方法】
(1)讨论的单调性可用整体思想:
把视为一个整体,所列不等式的方向与的单调区间对应的不等式方向相同(反).
(2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内,若不属于,可先化至同一单调区间内;
若不是同名三角函数,则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较、与1比较等)求解.
(3)函数的最小正周期为,的最小正周期为.
(4)三角函数中奇函数一般可化为或,而偶函数一般可化为的形式.
(5)的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,图像关于直线对称的充要条件是,图像关于点对称的充要条件是.
【易错指导】
(1)对于三角函数求其单调区间,要注意的正负,若为负,则需先化正,化为的形式,若求其单调递增区间,应把放在正弦函数的单调减区间内;
若求其单调递减区间,应把放在正弦函数的单调增区间内.
(2)解答时不要遗漏“”,另外三角函数存在多个单调区间时不能用“”联结.
(3)必须先将解析式化为的形式,再分别利用公式求周期,注意一定要加绝对值.
V.举一反三·
触类旁通
考向1三角函数的单调性(单调区间)
例1.(2018河南名校联考)已知,,,,则()
A.B.C.D.
【解析】,小于1的数越平方越小,
,故选D.
例2.函数的单调增区间别为.
【答案】.
例3.函数()为增函数的区间是.
【解析】∵,∴只要求函数的减区间即可.解可得,即,∴,故答案为.
【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数进行变形,将其变形为一般式,将其转化为求函数的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解.
例4.(2018河北石家庄)已知.
(Ⅰ)当时,求的值域;
(Ⅱ)若函数的图象向右平移个单位后,所得图象恰与函数的图象关于直线,求函数的单调递增区间.
(1);
(2).
(Ⅰ)
,
由,得,
∴,
即在上的值域是.
(Ⅱ)函数的图象向右平移个单位后得到的图象,
则,
设点是图象上任意一点,
则点关于直线对称的点在的图象上,
∴.
∴当,即时,单调递增,∴的单调递增区间是.
点睛:
三角函数式的化简要遵循“三看”原则:
一看角,这是重要一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
二看函数名称,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有切化弦;
三看结构特征,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如遇到分式要通分等.
例5.(2017吉林模拟)已知△ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足
(1)求角A的大小;
(2)已知函数的最小正周期为,求的单调减区间.
(1)A=;
(2)[kπ+,kπ+](k∈Z)
(1)可得:
A=
(2)由题意,ω=2,∴f(x)=sin(2x+),∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+,(k∈Z),
可得:
kπ+≤x≤kπ+,(k∈Z),
∴f(x)的减区间为:
[kπ+,kπ+](k∈Z)
考向2三角函数的奇偶性
例6.(2018浙江温州)已知函数,则下列命题错误的是()
A.函数是奇函数,且在上是减函数
B.函数是奇函数,且在上是增函数
C.函数是偶函数,且在上是减函数
D.函数是偶函数,且在上是增函数
【答案】A
例7.已知函数为常数,且),若函数是偶函数,则的值为.
【命题意图】考查三角函数的图像和性质及数形结合的思想,以及分析问题解决问题的能力.
【答案】0.
【解析】由题设可知,函数的图像关于直线对称,借助对称性及演绎推理的思想可知,即.∴.
考向3三角函数的周期性
例8.(2018辽宁鞍山)函数的周期为()
【答案】C
【解析】由,∴函数的周期,故选C.
例9.(2018湖北武汉起点调研)函数的最小正周期为()
例10.(2018江苏淮安)已知则函数的周期为________.
【解析】∵函数,由周期公式可得函数的周期为,故答案为.
例11.(2018上海模拟)设函数,其中,若,且的最小正周期大于,则__________.
【解析】由的最小正周期大于,得,
又,得,∴,则,
由,∴,
取,得,∴.
例12.(2017淮北一中后一卷)设函数.
(1)若,求的最大值及相应的的取值范围;
(2)若是的一个零点,且,求的值和的最小正周期.
(1)的最大值为,相应x的取值集合为;
(2)最小正周期是π.
(2)题意说明,从而,,由可得结论.
.
(1)当时,,
∴的最大值为,相应x的取值集合为.
(2)∵,整理得,又,∴
最小正周期是π.
考向4三角函数的对称性
例13.(2018河南林州10月调研)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移个单位,所得函数图象的一个对称中心为()
例14.(2018河南漯河)若把函数的图象向右平移个单位后所得图象关于坐标原点对称,则的最小值为()
【解析】函数的图象向右平移个单位后所得函数为图象关于坐标原点对称,则,-
∴的最小值为,故选A.
例15.(2018辽宁凌源)将函数的图象向平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数的图象,则下列关于函数的说法错误的是()
A.最小正周期为B.初相为
C.图象关于直线对称D.图象关于点对称
例16.(2018四川成都)已知函数的最大值为3,的图像与轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则的值为()
A.4030B.4032C.4033D.4035
【解析】的最大值为,,可求,∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为,可得函数的最小正周期为,即,∴解得,又的图象与轴的交点坐标为,可得,解得,∴函数的解析式为,,故选C.
例17.(2018江苏横林)若函数对任意的实数且则=_______.
【答案】或
例18.(2018河南南阳)函数的图像为,如下结论中正确的是__________(写出所有正确结论的编号).
①图象关于直线对称;
②图象关于点对称;
③在区间内是增函数;
④将的图象向右平移个单位可得到图像.
【答案】①②③
【解析】对于,
令,求得f(x)=−1,为函数的最小值,故它的图象C关于直线对称故①正确.
令x=,求得f(x)=0,可得它的图象C关于点(,0)对称,故②正确.
令,可得,故函数f(x)在区间是增函数,故③正确,
由的图象向右平移个单位长度可以得到故排除④,
故答案
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