高中数学 第一章 124函数的最大值练习 新人教B版选修22文档格式.docx
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0),求函数在[1,2]上的最大值.
1.函数y=xe-x,x∈[0,4]的最大值是
( ).
解析 y′=e-x-x·
e-x=e-x(1-x),令y′=0,∴x=1,
∴f(0)=0,f(4)=,f
(1)=e-1=,∴f
(1)为最大值,故选B.
答案 B
2.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是
A.[0,1)B.(0,1)
C.(-1,1)D.
解析 ∵f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0,可得a=x2,
又∵x∈(0,1),∴0<
a<
1,故选B.
3.设f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在x=1和x=-1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是
解析 f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意知-1,1是方程3ax2+2bx+c=0的两根,由根与系数的关系知1-1=-,所以b=0,故选A.
答案 A
4.函数y=x+2cosx在区间上的最大值是________.
解析 y′=1-2sinx=0,x=,比较0,,处的函数值,得ymax=+.
答案 +
5.函数f(x)=sinx+cosx在x∈的最大、最小值分别是________.
解析 f′(x)=cosx-sinx=0,即tanx=1,
x=kπ+,(k∈Z),
而x∈,当-<x<时,f′(x)>0;
当<x<时,f′(x)<0,
∴f是极大值.
又f=,f=-1,f=1,
∴函数最大值为f=,最小值为f=-1.
答案 ,-1
6.求函数f(x)=x5+5x4+5x3+1在区间[-1,4]上的最大值与最小值.
解 f′(x)=5x4+20x3+15x2=5x2(x+3)(x+1),
由f′(x)=0得x=0或x=-1或x=-3(舍),
列表:
x
-1
(-1,0)
(0,4)
4
f′(x)
+
f(x)
1
2625
∴函数y=x5+5x4+5x3+1在区间[-1,4]上的最大值为2625,最小值为0.
7.函数y=+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是
A.-B.-C.-4D.-
解析 y′=x2+2x-3(x∈[0,2]),令x2+2x-3=0,知x=-3或x=1为极值点.当x=1时,ymin=-,故选A.
8.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为
解析 ∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),由f′(x)=0得x=0或2.
∵f(0)=m,f
(2)=-8+m,f(-2)=-40+m,显然f(0)>
f
(2)>
f(-2),∴m=3,最小值为f(-2)=-37.
9.函数f(x)=,x∈[-2,2]的最大值是________,最小值是________.
解析 ∵y′==,
令y′=0可得x=1或-1.
又∵f
(1)=2,f(-1)=-2,f
(2)=,f(-2)=-,
∴最大值为2,最小值为-2.
答案 2 -2
10.如果函数f(x)=x3-x2+a在[-1,1]上的最大值是2,那么f(x)在[-1,1]上的最小值是________.
解析 f′(x)=3x2-3x,
令f′(x)=0得x=0,或x=1.
∵f(0)=a,f(-1)=-+a,
f
(1)=-+a,∴f(x)max=a=2.
∴f(x)min=-+a=-.
答案 -
11.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
解
(1)∵f′(x)=-3x2+6x+9.
令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,
∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,
f
(2)=-8+12+18+a=22+a,
∴f
(2)>f(-2).
于是有22+a=20,∴a=-2.
∴f(x)=-x3+3x2+9x-2.
∵在(-1,3)上f′(x)>0,∴f(x)在[-1,2]上单调递增.
又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,
∴f
(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,
∴f(-1)=1+3-9-2=-7,
即f(x)最小值为-7.
12.(创新拓展)已知函数f(x)=x2e-ax(a>
解 ∵f(x)=x2e-ax(a>
0),
∴f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).
令f′(x)>
0,即e-ax(-ax2+2x)>
0,
得0<
x<
.
∴f(x)在(-∞,0),上是减函数,
在上是增函数.
当0<
<
1,即a>
2时,f(x)在(1,2)上是减函数,
∴f(x)max=f
(1)=e-a.
当1≤≤2,即1≤a≤2时,
f(x)在上是增函数,
在上是减函数,
∴f(x)max=f=e-2.
当>
2,即0<
1时,f(x)在(1,2)上是增函数,
∴f(x)max=f
(2)=4e-2a.
综上所述,当0<
1时,f(x)的最大值为4e-2a;
当1≤a≤2时,f(x)的最大值为e-2;
当a>
2时,f(x)的最大值为e-a.
2019-2020年高中数学第一章1.2导数的几何意义练习新人教B版选修2-2
1.已知曲线y=x2-2上一点P,则过点P的切线的倾斜角为( ).
A.30°
B.45°
C.135°
D.165°
2.已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则A处的切线斜率等于( ).
A.2B.4C.6+6Δx+2(Δx)2D.6
3.已知函数y=f(x)的图象如图,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( ).
A.f′(xA)>
f′(xB)B.f′(xA)<
f′(xB)
C.f′(xA)=f′(xB)D.不能确定
4.设函数f(x)在x=x0处的导数不存在,则曲线y=f(x)( ).
A.在点(x0,f(x0))处的切线不存在
B.在点(x0,f(x0))处的切线可能存在
C.在点x0处不连续
D.在x=x0处极限不存在
5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是
y=-x+8,则f(5)+f′(5)=( ).
A.2 B.3
C.4D.5
6.设y=f(x)为可导函数,且满足条件=-2,则曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线的斜率是________.
7.若曲线y=2x2-4x+p与直线y=1相切,则p的值为________.
8.已知曲线y=-1上两点A,B(2+Δx,-+Δy),当Δx=1时割线AB的斜率为________.
9.求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线.
10.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1),Q(2,-1),且在点Q处与直线y=x-3相切,求实数a、b、c的值.
1.已知曲线y=x2-2上一点P,则过点P的切线的倾斜角为
解析 ∵y=x2-2,
∴y′=
=
==x.
∴y′|x=1=1.∴点P处切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45°
2.已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则A处的切线斜率等于
A.2B.4
C.6+6Δx+2(Δx)2D.6
解析 ∵y=2x3,∴y′==
=2
=2[(Δx)2+3xΔx+3x2]=6x2.
∴y′|x=1=6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.
答案 D
3.已知函数y=f(x)的图象如图,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( ).
B.f′(xA)<
C.f′(xA)=f′(xB)
D.不能确定
解析 分别作出A、B两点的切线,由图可知kB<
kA,即f′(xB)<
f′(xA).
4.曲线y=2x-x3在点(1,1)处的切线方程为________.
解析 求出y=2x-x3在(1,1)处的斜率为-1,故方程为x+y-2=0.
答案 x+y-2=0
5.设y=f(x)为可导函数,且满足条件=-2,则曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线的斜率是________.
解析 由=-2,∴f′
(1)=-2,f′
(1)=-4.
答案 -4
6.求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线.
解 先求曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的斜率,
k=y′
(1)=
=(3Δx+2)=2.
设过点P(-1,2)且斜率为2的直线为l,则由点斜式:
y-2=2(x+1),化为一般式:
2x-y+4=0.
所以,所求直线方程为2x-y+4=0.
7.设函数f(x)在x=x0处的导数不存在,则曲线y=f(x)( ).
解析 函数f(x)在x=x0处的导数不存在,只能说明过点(x0,f(x0))的直线斜率不存在,此时直线与x轴垂直,所以在点(x0,f(x0))处的切线可能存在.
8.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是
解析 易得
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