高中数学必修5常考题型等比数列Word文档下载推荐.docx
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[解] 依题意an=2+(n-1)×
(-1)=3-n,
于是bn=3-n.
而==-1=2.
∴数列{bn}是公比为2的等比数列,通项公式为bn=2n-3.
【类题通法】
证明数列是等比数列常用的方法
(1)定义法:
=q(q为常数且q≠0)或=q(q为常数且q≠0,n≥2)⇔{an}为等比数列.
(2)等比中项法:
a=an·
an+2(an≠0,n∈N*)⇔{an}为等比数列.
(3)通项公式法:
an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列.
【对点训练】
1.已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,求证:
数列{an}是等比数列.
证明:
∵Sn=2-an,∴Sn+1=2-an+1.
∴an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1.
∴an+1=an.
又∵S1=2-a1,
∴a1=1≠0.
又由an+1=an知an≠0,
∴=.
∴{an}是等比数列.
题型二、等比数列的通项公式
【例2】 在等比数列{an}中,
(1)a4=2,a7=8,求an;
(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
[解]
(1)因为所以
由得q3=4,从而q=,而a1q3=2,
于是a1==,所以an=a1qn-1=2.
(2)法一:
因为
由得q=,从而a1=32.
又an=1,所以32×
n-1=1,
即26-n=20,所以n=6.
法二:
因为a3+a6=q(a2+a5),所以q=.
由a1q+a1q4=18,得a1=32.
由an=a1qn-1=1,得n=6.
与求等差数列的通项公式的基本量一样,求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式,an=a1·
qn-1(a1q≠0)中包含了四个量,已知其中的三个量,可以求得另一个量.求解时,要注意应用q≠0验证求得的结果.
2.
(1)若等比数列的前三项分别为5,-15,45,则第5项是( )
A.405 B.-405
C.135D.-135
(2)已知等比数列{an}为递增数列,且a=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an=________.
解析:
(1)选A ∵a5=a1q4,而a1=5,q==-3,
∴a5=405.
(2)根据条件求出首项a1和公比q,再求通项公式.由2(an+an+2)=5an+1⇒2q2-5q+2=0⇒q=2或,由a=a10=a1q9>
0⇒a1>
0,又数列{an}递增,所以q=2.
a=a10>
0⇒(a1q4)2=a1q9⇒a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n.
答案:
(1)A
(2)2n
题型三、等比中项
【例3】 设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于( )
A.2B.4
C.6D.8
[解析] ∵an=(n+8)d,又∵a=a1·
a2k,
∴[(k+8)d]2=9d·
(2k+8)d,解得k=-2(舍去),
k=4.
[答案] B
等比中项的应用主要有两点:
①计算,与其它性质综合应用.可以简化计算、提高速度和准确度.②用来判断或证明等比数列.
3.已知1既是a2与b2的等比中项,又是与的等差中项,则的值是( )
A.1或B.1或-
C.1或D.1或-
选D 由题意得,a2b2=(ab)2=1,+=2,
∴或
因此的值为1或-.
【练习反馈】
1.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,则公比q等于( )
A. B.
C.2D.8
选B ∵{an}为等比数列,∴a4+a6=(a1+a3)q3,
∴q3=,∴q=.
2.已知等差数列{an}的公差为3,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于( )
A.9B.3
C.-3D.-9
选D a1=a2-3,a3=a2+3,a4=a2+3×
2=a2+6,
由于a1,a3,a4成等比数列,
则a=a1a4,
所以(a2+3)2=(a2-3)(a2+6),解得a2=-9.
3.在数列{an}中,a1=2,且对任意正整数n,3an+1-an=0,则an=________.
∵3an+1-an=0,
∴=,
因此{an}是以为公比的等比数列,
又a1=2,所以an=2×
n-1.
2×
n-1
4.已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=________.
由题意得2q2-2q=4,解得q=2或q=-1.又{an}单调递增,得q>1,∴q=2.
2
5.
(1)已知{an}为等比数列,且a5=8,a7=2,该数列的各项都为正数,求an.
(2)若等比数列{an}的首项a1=,末项an=,公比q=,求项数n.
(3)若等比数列{an}中an+4=a4,求公比q.
解:
(1)由已知得
得,
∵an>0,∴
∴an=128×
n-1=28-n.
(2)由an=a1·
qn-1,
得=n-1,
即n-1=3,得n=4.
(3)∵an+4=a4q(n+4)-4=a4qn,
又an+4=a4,∴qn=1,
∴当n为偶数时,q=±
1;
当n为奇数时,q=1.
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