人教版八年级数学上册 全等三角形专题练习解析版Word格式.docx
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试题解析:
证明:
∵△ABC与△DCE是等腰三角形,
∴AC=BC,DC=EC,
∴∠ACD=∠BCE;
在△ACD和△BCE中,
,
(2)过点C作CH⊥BQ于H,
∵△ABC是等腰三角形,∠ACB=45˚,AO是BC边上的高,
∴在
中,
最小值为:
2.
(1)已知△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°
(如图①).求证:
EB=AD;
(2)若将
(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图②),
(1)的结论是否成立,并说明理由.
(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)作DF∥BC交AC于F,由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,证明△ABC是等边三角形,得出∠ABC=∠ACB=60°
,证出△ADF是等边三角形,∠DFC=120°
,得出AD=DF,由已知条件得出∠FDC=∠DEC,ED=CD,由AAS证明△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;
(2)作DF∥BC交AC的延长线于F,同(
1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论.
(1)证明:
如图,作DF∥BC交AC于F,
则△ADF为等边三角形
∴AD=DF,又∵∠DEC=∠DCB,
∠DEC+∠EDB=60°
∠DCB+∠DCF=60°
,
∴∠EDB=∠DCA,DE=CD,
在△DEB和△CDF中,
∴△DEB≌△CDF,
∴BD=DF,
∴BE=AD.
(2).EB=AD成立;
理由如下:
作DF∥BC交AC的延长线于F,如图所示:
同
(1)得:
AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD,
又∵∠DBE=∠DFC=60°
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴EB=DF,
∴EB=AD.
点睛:
此题主要考查了三角形的综合,考查等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,平行线的性质等知识,综合性强,有一定的难度,证明三角形全等是解决问题的关键.
3.已知OP平分∠AOB,∠DCE的顶点C在射线OP上,射线CD交射线OA于点F,射线CE交射线OB于点G.
(1)如图1,若CD⊥OA,CE⊥OB,请直接写出线段CF与CG的数量关系;
(2)如图2,若∠AOB=120º
,∠DCE=∠AOC,试判断线段CF与CG的数量关系,并说明理由.
(1)CF=CG;
(2)CF=CG,见解析
【分析】
(1)结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.
(2)结论:
CF=CG,作CM⊥OA于M,CN⊥OB于N,证明△CMF≌△CNG,利用全等三角形的性质即可解决问题.
【详解】
解:
(1)结论:
CF=CG;
证明:
∵OP平分∠AOB,CF⊥OA,CG⊥OB,
∴CF=CG(角平分线上的点到角两边的距离相等);
(2)CF=CG.理由如下:
如图,
过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,
∵OP平分∠AOB,CM⊥OA,CN⊥OB,∠AOB=120º
∴CM=CN(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∴∠AOC=∠BOC=60º
(角平分线的性质),
∵∠DCE=∠AOC,
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º
∴∠MCO=90º
-60º
=30º
,∠NCO=90º
∴∠MCN=30º
+30º
=60º
∴∠MCN=∠DCE,
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN,∠NCG=∠DCE-∠DCN,
∴∠MCF=∠NCG,
在△MCF和△NCG中,
∴△MCF≌△NCG(ASA),
∴CF=CG(全等三角形对应边相等);
【点睛】
本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是掌握角平分线的性质的应用,熟练证明三角形全等.
4.
(1)如图
(1),已知:
在△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:
DE=BD+CE.
(2)如图
(2),将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=
其中
为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;
若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:
如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
(1)见解析
(2)成立(3)△DEF为等边三角形
∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=900.
∵∠BAC=900,∴∠BAD+∠CAE=900.
∵∠BAD+∠ABD=900,∴∠CAE=∠ABD.
又AB="
AC"
,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴AE=BD,AD=CE.
∴DE="
AE+AD="
BD+CE.
(2)成立.证明如下:
∵∠BDA=∠BAC=
,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=1800—
.∴∠DBA=∠CAE.
∵∠BDA=∠AEC=
,AB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴AE=BD,AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)△DEF为等边三角形.理由如下:
由
(2)知,△ADB≌△CEA,BD=AE,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=600.
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF.∴∠DBF=∠FAE.
∵BF=AF,∴△DBF≌△EAF(AAS).∴DF=EF,∠BFD=∠AFE.
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600.
∴△DEF为等边三角形.
(1)因为DE=DA+AE,故由AAS证△ADB≌△CEA,得出DA=EC,AE=BD,从而证得DE=BD+CE.
(2)成立,仍然通过证明△ADB≌△CEA,得出BD=AE,AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.
(3)由△ADB≌△CEA得BD=AE,∠DBA=∠CAE,由△ABF和△ACF均等边三角形,得∠ABF=∠CAF=600,FB=FA,所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,即∠DBF=∠FAE,所以△DBF≌△EAF,所以FD=FE,∠BFD=∠AFE,再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形.
5.如图①,在
中,
是过
点的一条直线,且
、
在
的异侧,
.
(1)求证:
(2)若将直线
绕点
旋转到图②的位置时(
),其余条件不变,问
与
的关系如何?
请予以证明.
(1)见解析;
(2)BD=DE-CE,理由见解析.
(1)根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE,AD=CE,因为AE=AD+DE,所以BD=DE+CE;
(2)根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE,AD=CE,因为AD+AE=BD+CE,所以BD=DE-CE.
(1)∵∠BAC=90°
,BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠BDA=∠AEC=90°
∵∠ABD+∠BAE=90°
,∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE,
∵AB=AC,
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∵AE=AD+DE,
∴BD=DE+CE;
(2)
的数量关系是BD=DE-CE,理由如下:
∵∠BAC=90°
∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE,
∴AD+AE=BD+CE,
∵DE=BD+CE,
∴BD=DE-CE.
此题主要考查全等三角形的判定和性质,常用的判定方法有SSS,SAS,AAS,HL等.这种类型的题目经常考到,要注意掌握.
6.综合实践
如图①,
,垂足分别为点
.
(1)求
的长;
(2)将
所在直线旋转到
的外部,如图②,猜想
之间的数量关系,直接写出结论,不需证明;
(3)如图③,将图①中的条件改为:
三点在同一直线上,并且
,其中
为任意钝角.猜想
之间的数量关系,并证明你的结论.
(1)0.8cm;
(2)DE=AD+BE;
(3)DE=AD+BE,证明见解析.
(1)本小题只要先证明
,得到
,再根据
,易求出BE的值;
(2)先证明
,由图②ED=EC+CD,等量代换易得到
之间的关系;
(3)本题先证明
,然后运用“AAS”定理判定
,从而得到
,再结合图③中线段ED的特点易找到
之间的数量关系.
(1)∵
∴
∵
又∵
,
(2)∵
(3)∵
中,
本题考查的知识点是全等三角形的判定,确定一种判定定理,根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键.
7.
(1)在等边三角形
①如图①,
分别是边
上的点,且
交于点
,则
的度数是___________度;
②如图②,
延长线上的点,且
的延长线交于点
,此时
的度数是____________度;
(2)如图③,在
是锐角,点
是
边的垂直平分线与
的交点,点
分别在
的延长线上,且
,若
,求
的大小(用含法
的代数式表示).
(1)60;
(2)60;
(3)
(1)①只要证明△ACE≌
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