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数列和的运算
练习1:
探索具体情景下事物的规律
问题1.若有两张长方形的桌子,把它们拼成一张大的长方形桌子,有几种拼法?
问题2.若按图2方式摆放桌子和椅子
⑴一张桌子可坐6人,2张桌子可坐人。
⑵按照上图方式继续排列桌子,完成下表:
问题3.如果按图3的方式将桌子拼在一起
⑴2张桌子拼在一起可坐多少人?
3张呢?
n张呢?
⑵教室有40张这样的桌子,按上图方式每5张拼成1张大桌子,则40张桌子可拼成8张大桌子,共可人。
⑶在⑵中,改成每8张桌子拼成1张大桌子,则共可坐人。
个数
1
2
3
4
5
6
7⋯
n
周长
8
11
14
3.用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律,拼成若干个图案:
1)第4个图案中有白色地面砖块;
2)第n个图案中有白色地面砖块。
第一个第二个第三个
4.(2013湖南省娄底市)如图,是用火柴棒拼成的图形,则第n个图形需根火柴棒
个小圆.
5.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:
第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图
形有16个小圆,第4个图形有24个小圆,⋯⋯,依次规律,第6个图形有
6.图6是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,⋯⋯,第n(n
类型二、等比例数列问题
比例相等:
对每个数和它的前一个数进行比较,如比例相等,则第n个数可以表示为:
abn-1,其中a为数列的第一位数,b为比值。
2、4、8、16
看例题:
答案与2的乘方有关即:
2n(附加:
数列和的运算)
例如:
1,3,9,27,⋯⋯,求第n位数。
2,6,12,24
2.数列:
-2,6,-12,24
3.观察下面的一列单项式:
x,2x2,4x3,8x4,⋯根据你发现的规律,第7个单项式为;
第n个
单项式为
,它们是按一定规律排列的.那么这一组数的第k个数是
1357
4.观察下列一组数:
1,3,5,7,
2468
5.如图,把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为的矩形,接着把面积为的矩形等分成两个面积为
22
16
32
64
128
256
n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。
类型三、平方数列问题
公因式法:
每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与
1,9,25,49,⋯⋯,求第n位数。
例2.你能很快算出19952吗?
10?
并归
为了解决这个问题,我们考察个位上的数为5的自然数的平方,任意一个个位数为5的自然数可写成n+5,即求(10n5)2的值(n为自然数),你试分析n1,n2,n3,这些简单情况,从中控索其规律,纳,推测出结论(在下面空格内填上你的控索结果)。
(1)
通过计算,控索规律:
152
225可写成100
1(11)
25
252
625可写成100
2(21)
352
1225可写成100
3(31)
452
2025可写成100
4(41)
752
5625可写成
852
7225可写成
(2)
从第
(1)的结果,归纳、推测得:
(10n5)
(3)
根据上面的归纳、推测,请算出:
19952
观察下列几个算式,找出规律:
1+2+1=4
1+2+3+2+1=9
1+2+3+4+3+2+1=16
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
利用上面规律,请你迅速算出:
11+2+3+⋯+99+100+99+⋯+3+2+1=
2据①你会算出1+2+3+⋯+100是多少吗?
3据上你能推导出1+2+3+⋯+n的计算公式吗?
22222222
2.给出下列算式:
3212881,52321682,72522483,92723284,⋯,
观察上面的一系列等式,你能发现什么规律?
用代数式表示这个规律是。
3.如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律填写:
a所表示的数:
b所表示的数:
那么13233343
9931003
类型四、周期性的规律
且n为正整数),则a2013的值为.(结果用数字作答)
0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2)⋯根据这个规律,第2012个点的横坐标为
2.如图,在平面直角坐标系中,线段OA1=1,OA1与x轴的夹角为300。
线段A1A2=1,A1A2⊥OA1,垂足为A1;
线
段A2A3=1,A2A3⊥A1A2,垂足为A2;
线段A3A4=1,A3A4⊥A2A3,垂足为A3;
·
按此规律,点A2012的坐标为
3.如图所示,两个全等菱形的边长为1厘米,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2010厘米后停下,则这只蚂蚁停在点.
4.如图,动点P从(0,3)出发,沿所示的方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P
第2013次碰到矩形的边时,点P的坐标为()
(A)(1,4)(B)(5,0)
(C)(6,4)(D)(8,3)
类型五、与函数结合综合性规律题
如图所示,直线y=x+1与y轴相交于点A1,以OA1为边作正方形OA1B1C1,记作第一个正方形;
然后延长C1B1与直线y=x+1相交于点A2,再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2,记作第二个正方形;
同样延长C2B2
与直线y=x+1相交于点A3,再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3,记作第三个正方形;
⋯依此类推,则第n个正方形的边长为.
1.如图所示,已知:
点A(0,0),B(3,0),C(0,1)在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个
顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1,第2个△B1A2B2,第3个△B2A3B3,⋯,则第n个等边三角形的边长等于.
2.正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,⋯按如图所示的方式放置.点A1,A2,A3,⋯和点C1,C2,C3,
分别在直线ykxb(k>
0)和x轴上,已知点B1(1,1),B2(3,2),则Bn的坐标是.
3.如图,AOB45o,过OA上到点O的距离分别为1,3,5,7,9,11,L的点作OA的垂线与OB相交,得到并标出一组黑色梯形,它们的面积分别为S1,S2,S3,S4,L.
则第一个黑色梯形的面积S1;
观察图中的规律,
第n(n为正整数)个黑色梯形的面积Sn
4.如图,已知直线l:
y=x,过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B,过点B作直线l的垂线交y轴于点A1;
过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1,过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2;
⋯⋯按此作法继续下去,则点A2013的坐
标为.
5.在平面直角坐标系xOy中,点A1,A2,A3,⋯和B1,B2,B3,⋯分别在直线ykxb
和x轴上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,⋯都是等腰直角三角形,如果A1(1,1),A2(7,3),那么点An的纵坐
22n
标是_.
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