全国中考数学试题解析分类汇编第三期27 图形的相似与位似Word下载.docx
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解:
∵M、N分别是AC,BC的中点,
∴MN∥AB,MN=
AB,
∴AB=2MN=2×
12=24m,
△CMN∽△CAB,
∵M是AC的中点,
∴CM=MA,
∴CM:
1,
故描述错误的是D选项.
故选D.
点评:
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,相似三角形的判定,熟记定理并准确识图是解题的关键.
2.图,在△ABC中,D、E分别是AB、BC上的点,且DE∥AC,若S△BDE:
S△CDE=1:
4,则S△BDE:
S△ACD=( )
1:
16
18
20
24
相似三角形的判定与性质.
设△BDE的面积为a,表示出△CDE的面积为4a,根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出
,然后求出△DBE和△ABC相似,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积,然后表示出△ACD的面积,再求出比值即可.
∵S△BDE:
4,
∴设△BDE的面积为a,则△CDE的面积为4a,
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等,
∴
=
,
∵DE∥AC,
∴△DBE∽△ABC,
∴S△DBE:
S△ABC=1:
25,
∴S△ACD=25a﹣a﹣4a=20a,
∴S△BDE:
S△ACD=a:
20a=1:
20.
故选C.
本题考查了相似三角形的判定与性质,等高的三角形的面积的比等于底边的比,熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键.
3.已知:
在△ABC中,BC=10,BC边上的高h=5,点E在边AB上,过点E作EF∥BC,交AC边于点F.点D为BC上一点,连接DE、DF.设点E到BC的距离为x,则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为( )
第1题图
动点问题的函数图象.
判断出△AEF和△ABC相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出EF,再根据三角形的面积列式表示出S与x的关系式,然后得到大致图象选择即可.
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴EF=
•10=10﹣2x,
∴S=
(10﹣2x)•x=﹣x2+5x=﹣(x﹣
)2+
∴S与x的关系式为S=﹣(x﹣
(0<x<10),
纵观各选项,只有D选项图象符合.
本题考查了动点问题函数图象,主要利用了相似三角形的性质,求出S与x的函数关系式是解题的关键,也是本题的难点.
4.)如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上一点,OQ⊥BC于点Q,过点B作半圆O的切线,交OQ的延长线于点P,PA交半圆O于R,则下列等式中正确的是( )
切线的性质;
平行线的判定与性质;
垂径定理;
相似三角形的判定与性质
探究型.
(1)连接AQ,易证△OQB∽△OBP,得到
,也就有
,可得△OAQ∽OPA,从而有∠OAQ=∠APO.易证∠CAP=∠APO,从而有∠CAP=∠OAQ,则有∠CAQ=∠BAP,从而可证△ACQ∽△ABP,可得
,所以A正确.
(2)由△OBP∽△OQB得
,即
,由AQ≠OP得
,故C不正确.
(3)连接OR,易得
=2,得到
,故B不正确.
(4)由
及AC=2OQ,AB=2OB,OB=OR可得
,由AB≠AP得
,故D不正确.
(1)连接AQ,如图1,
∵BP与半圆O于点B,AB是半圆O的直径,
∴∠ABP=∠ACB=90°
.
∵OQ⊥BC,
∴∠OQB=90°
∴∠OQB=∠OBP=90°
又∵∠BOQ=∠POB,
∴△OQB∽△OBP.
∵OA=OB,
又∵∠AOQ=∠POA,
∴△OAQ∽△OPA.
∴∠OAQ=∠APO.
∵∠OQB=∠ACB=90°
∴AC∥OP.
∴∠CAP=∠APO.
∴∠CAP=∠OAQ.
∴∠CAQ=∠BAP.
∵∠ACQ=∠ABP=90°
∴△ACQ∽△ABP.
故A正确.
(2)如图1,
∵△OBP∽△OQB,
∵AQ≠OP,
故C不正确.
(3)连接OR,如图2所示.
∴BQ=CQ.
∵AO=BO,
∴OQ=
AC.
∵OR=
AB.
=2.
≠
故B不正确.
(4)如图2,
∵
且AC=2OQ,AB=2OB,OB=OR,
∵AB≠AP,
故D不正确.
故选:
本题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理、三角形的中位线等知识,综合性较强,有一定的难度.
5.究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:
甲:
将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.
乙:
将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.
对于两人的观点,下列说法正确的是( )
两人都对
两人都不对
甲对,乙不对
甲不对,乙对
相似三角形的判定;
相似多边形的性质
根据题意得:
AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,即可证得∠A=∠A′,∠B=∠B′,可得△ABC∽△A′B′C′;
AB=CD=3,AD=BC=5,则A′B′=C′D′=3+2=5,A′D′=B′C′=5+2=7,则可得
,即新矩形与原矩形不相似.
AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,
∴∠A=∠A′,∠B=∠B′,
∴△ABC∽△A′B′C′,
∴甲说法正确;
∵根据题意得:
AB=CD=3,AD=BC=5,则A′B′=C′D′=3+2=5,A′D′=B′C′=5+2=7,
∴新矩形与原矩形不相似.
∴乙说法正确.
故选A.
此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.
6.
二、填空题
1.如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,DE∥BC.若AD=4,DB=2,则
的值为
.
由AD=3,DB=2,即可求得AB的长,又由DE∥BC,根据平行线分线段成比例定理,可得DE:
BC=AD:
AB,则可求得答案.
∵AD=4,DB=2,
∴AB=AD+BD=4+2=6,
∵DE∥BC,
△ADE∽△ABC,∴
故答案为:
此题考查了平行线分线段成比例定理.此题比较简单,注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键.
2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BE平分∠ABC交CD于E,且BE⊥CD,CE:
ED=2:
1.如果△BEC的面积为2,那么四边形ABED的面积是
相似三角形的判定与性质;
等腰三角形的判定与性质;
梯形.
首先延长BA,CD交于点F,易证得△BEF≌△BEC,则可得DF:
FC=1:
4,又由△ADF∽△BCF,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求得△ADF的面积,继而求得答案.
延长BA,CD交于点F,
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBF=∠EBC,
∵BE⊥CD,
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中,
∴△BEF≌△BEC(ASA),
∴EC=EF,S△BEF=S△BEC=2,
∴S△BCF=S△BEF+S△BEC=4,
∵CE:
1
∴DF:
∵AD∥BC,
∴△ADF∽△BCF,
=(
)2=
∴S△ADF=
×
4=
∴S四边形ABCD=S△BEF﹣S△ADF=2﹣
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
3.3分)如图,在△ABC中,4AB=5AC,AD为△ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EF⊥AD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点,则
的值为 .
全等三角形的判定与性质;
角平分线的性质;
平行四边形的判定与性质.
解题关键是作出辅助线,如解答图所示:
第1步:
利用角平分线的性质,得到BD=CD;
第2步:
延长AC,构造一对全等三角形△ABD≌△AMD;
第3步:
过点M作MN∥AD,构造平行四边形DMNG.由MD=BD=KD=CD,得到等腰△DMK;
然后利用角之间关系证明DM∥GN,从而推出四边形DMNG为平行四边形;
第4步:
由MN∥AD,列出比例式,求出
的值.
已知AD为角平分线,则点D到AB、AC的距离相等,设为h.
=,∴BD=CD.
如右图,延长AC,在AC的延长线上截取AM=AB,则有AC=4CM.连接DM.
在△ABD与△AMD中,
∴△ABD≌△AMD(SAS),
∴MD=BD=5m.
过点M作MN∥AD,交EG于点N,交DE于点K.
∵MN∥AD,∴
=,∴CK=CD,∴KD=CD.
∴MD=KD,即△DMK为等腰三角形,
∴∠DMK=∠DKM.
由题意,易知△EDG为等腰三角形,且∠1=∠2;
∵MN∥AD,∴∠3=∠4=∠1=∠2,
又∵∠DKM=∠3(对顶角)
∴∠DMK=∠4,
∴DM∥GN,
∴四边形DMNG为平行四边形,
∴MN=DG=2FD.
∵点H为AC中点,AC=4CM,∴
=.
∵MN∥AD,
本题是几何综合题,难度较大,正确作出辅助线是解题关键.在解题过程中,需要综合利用各种几何知识,例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等,对考生能力要求较高.
4.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所
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