全国高考文科数学试题及答案全国.doc
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2010年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
第Ⅰ卷(选择题)
本卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么球的表面积公式
S=4πR2
如果事件A、B相互独立,那么其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是,那么
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
一、选择题
(1)设全集,集合,则( )
(A) (B) (C) (D)
(2)不等式的解集为( )
(A) (B)
(C) (D)
(3)已知,则
(A)(B)(C)(D)
(4)函数的反函数是
(A)(B)
(C)(D)
(5)若变量满足约束条件,则的最大值为
(A)1(B)2(C)3(D)4
(6)如果等差数列中,++=12,那么++…+=
(A)14(B)21(C)28(D)35
(7)若曲线在点处的切线方程式,则
(A)(B)
(C)(D)
(8)已知三棱锥中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为
(A)(B)(C)(D)
(9)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有
(A)12种(B)18种(C)36种(D)54种
(10)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若,,,则=
(A)(B)(C)(D)
(11)与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点
(A)有且只有1个(B)有且只有2个
(C)有且只有3个(D)有无数个
(12)已知椭圆C:
+=1的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点,若=3,则k=
(A)1(B)(C)(D)2
第Ⅱ卷(非选择题)
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
(13)已知是第二象限的角,,则___________.
(14)的展开式中的系数是__________
(15)已知抛物线的准线为,过M(1,0)且斜率为的直线与相交于点A,与C的一个交点为B,若,,则等于_________.
(16)已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆,AB为圆M与圆N的公共弦,AB=4,若OM=ON=3,则两圆圆心的距离MN=________________.
三.解答题:
本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分10分)
△ABC中,D为边BC上的一点,BD=33,,.求AD.
(18)(本小题满分12分)
已知是各项均为正数的等比例数列,且
,.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
(19)(本小题满分12分)
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点,E为AB1上的一点,AE=3EB1.
(Ⅰ)证明:
DE为异面直线AB1与CD的公垂线;
(Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为45o,求二面角A1-AC1-B1的大小.
(20)(本小题满分12分)
如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是,电流能通过T4的概率是0.9,电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率.
(21)(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)设,求的单调区间;
(Ⅱ)设在区间(2,3)中至少有一个极值点,求的取值范围.
(22)(本小题满分12分)
已知斜率为1的直线与双曲线C:
相交于B、D两点,且BD的中点为.
(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,,证明:
过A、B、D三点的圆与轴相切.
2010年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案和评分参考
一、选择题
1.C2.A3.B4.D5.C6.C7.A8.D9.B
10.B11.D12.B
二、填空题
13.14.8415.216.3
三、解答题
(17)解:
由
由已知得,
从而
.
由正弦定理得
所以
.
(18)解:
(Ⅰ)设公比为q,则.由已知有
化简得
又,故
所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
因此
(19)解法一:
(Ⅰ)连结,记与的交点为F.因为面为正方形,故,且.又,所以,又D为的中点,故.
作,G为垂足,由AC=BC知,G为AB中点.
又由底面面,得.
连结DG,则,故,由三垂线定理,得.
所以DE为异面直线与CD的公垂线.
(Ⅱ)因为,故为异面直线与的夹角,.
设AB=2,则,,,.
作,H为垂足,因为底面,故,
又作,K为垂足,连结,由三垂线定理,得,因此为二面角的平面角
所以二面角的大小为
解法二:
(Ⅰ)以B为坐标原点,射线BA为轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=2,则A(2,0,0,),,D(0,1,0),,
又设C(1,0,c),则.
于是.
故,
所以DE为异面直线与CD的公垂线.
(Ⅱ)因为等于异面直线与CD的夹角,
故,
即,
解得,故,
又,
所以,
设平面的法向量为,
则
即
令,则,故
令平面的法向量为
则,即
令,则,故
所以.
由于等于二面角的平面角,
所以二面角的大小为.
(20)解:
记表示事件:
电流能通过
A表示事件:
中至少有一个能通过电流,
B表示事件:
电流能在M与N之间通过,
(Ⅰ)相互独立,
又,
故,
(Ⅱ),
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9
=0.9891
(21)解:
(Ⅰ)当a=2时,
当时在单调增加;
当时在单调减少;
当时在单调增加;
综上所述,的单调递增区间是和,
的单调递减区间是
(Ⅱ),
当时,为增函数,故无极值点;
当时,有两个根
由题意知,
①式无解,②式的解为,
因此的取值范围是.
(22)解:
(Ⅰ)由题设知,的方程为:
,
代入C的方程,并化简,得,
设,
则①
由为BD的中点知,故
即,②
故
所以C的离心率
(Ⅱ)由①②知,C的方程为:
,
故不妨设,
,
,
.
又,
故,
解得,或(舍去),
故,
连结MA,则由,知,从而,且轴,因此以M为圆心,MA为半径的圆经过A、B、D三点,且在点A处与轴相切,所以过A、B、D三点的圆与轴相切.
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