高三数学第三轮总复习资料全讲解汇编Word文件下载.docx
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1时,不等式的解为x∈(a2,a).
(2)当a<
a2⇒a2-a>
0即a<
0或a>
1时,不等式的解为:
x∈(a,a2)
(3)当a=a2⇒a2-a=0即a=0或a=1时,不等式为x2<
0或(x-1)2<
不等式的解为x∈∅.
综上,当0<
1时,x∈(a2,a)
当a<
1时,x∈(a,a2)
当a=0或a=1时,x∈∅.
评述:
抓住分类的转折点,此题分解因式后,之所以不能马上写出解集,主要是不知两根谁大谁小,那么就按两个根之间的大小关系来分类.
例2.解关于x的不等式ax2+2ax+1>
0(a∈R)
此题应按a是否为0来分类.
(1)当a=0时,不等式为1>
0,解集为R.
(2)a≠0时分为a>
0与a<
0两类
①时,方程ax2+2ax+1=0有两根
.
则原不等式的解为.
②时,
方程ax2+2ax+1=0没有实根,此时为开口向上的抛物线,则不等式的解为(-∞,+∞).
③时,
方程ax2+2ax+1=0只有一根为x=-1,则原不等式的解为(-∞,-1)∪(-1,+∞).
④时,
方程ax2+2ax+1=0有两根,
此时,抛物线的开口向下的抛物线,故原不等式的解为:
⑤
综上:
当0≤a<
1时,解集为(-∞,+∞).
当a>
1时,解集为.
当a=1时,解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞).
0时,解集为.
例3.解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R)
原不等式可化为⇔ax2+(a-2)x-2≥0,
(1)a=0时,x≤-1,即x∈(-∞,-1].
(2)a≠0时,不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.
①a>
0时,不等式化为,
当,即a>
0时,不等式解为.
当,此时a不存在.
②a<
0时,不等式化为,
当,即-2<
0时,不等式解为
当,即a<
-2时,不等式解为.
当,即a=-2时,不等式解为x=-1.
a=0时,x∈(-∞,-1).
a>
0时,x∈.
-2<
a<
-2时,x∈.
a=-2时,x∈{x|x=-1}.
通过上面三个例题的分析与解答,可以概括出分类讨论问题的基本原则为:
10:
能不分则不分;
20:
若不分则无法确定任何一个结果;
30:
若分的话,则按谁碍事就分谁.
例4.已知函数f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5.有最大值2,求实数a的取值.
f(x)=1-sin2x+asinx-a2+2a+5
令sinx=t,t∈[-1,1].
则(t∈[-1,1]).
(1)当即a>
2时,t=1,
解方程得:
(舍).
(2)当时,即-2≤a≤2时,,,
解方程为:
或a=4(舍).
(3)当即a<
-2时,t=-1时,ymax=-a2+a+5=2
即a2-a-3=0∴,∵a<
-2,∴全都舍去.
综上,当时,能使函数f(x)的最大值为2.
例5.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和,证明:
.
证明:
(1)当q=1时,Sn=na1从而
(2)当q≠1时,,从而
由
(1)
(2)得:
∵函数为单调递减函数.∴.
例6.设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0,2x+y-5=0,求此双曲线的离心率.
分析:
由双曲线的渐近线方程,不能确定其焦点位置,所以应分两种情况求解.
(1)当双曲线的焦点在直线y=3时,双曲线的方程可改为,一条渐近线的斜率为,∴b=2.∴.
(2)当双曲线的焦点在直线x=1时,仿
(1)知双曲线的一条渐近线的斜率为,此时.
综上
(1)
(2)可知,双曲线的离心率等于.
例5,例6,的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的,而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.
例7.解关于x的不等式.
原不等式
由
(1)a=1时,x-2>
0,即x∈(2,+∞).
由
(2)a<
1时,,下面分为三种情况.
①即a<
1时,解为.
②时,解为∅.
③⇒即0<
1时,原不等式解为:
由(3)a>
1时,的符号不确定,也分为3种情况.
①⇒a不存在.
②当a>
1时,原不等式的解为:
a=1时,x∈(2,+∞).
1时,x∈
a=0时,x∈∅.
0<
1时,x∈.
对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:
明确讨论的对象,确定对象的全体;
确定分类标准,正确分类,不重不漏;
逐步进行讨论,获得结段性结记;
40:
归纳总结,综合结记.
课后练习:
1.解不等式
2.解不等式
3.已知关于x的不等式的解集为M.
(1)当a=4时,求集合M:
(2)若3∈M,求实数a的取值范围.
4.在x0y平面上给定曲线y2=2x,设点A坐标为(a,0),a∈R,求曲线上点到点A距离的最小值d,并写成d=f(a)的函数表达式.
参考答案:
1.
2.
3.
(1)M为
(2)
4..
函数押题针对训练
复习重点:
函数问题专题,主要帮助学生整理函数基本知识,解决函数问题的基本方法体系,函数问题中的易错点,并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
复习难点:
树立数形结合的思想,函数方程的思想解决有关问题。
主要内容:
(一)基本问题
1.定义域2.对应法则3.值域
4.图象问题5.单调性6.奇偶性(对称性)
7.周期性8.反函数9.函数值比大小
10.分段函数11.函数方程及不等式
(二)基本问题中的易错点及基本方法
1.集合与映射
<
1>
认清集合中的代表元素
2>
有关集合运算中,辨清:
子集,真子集,非空真子集的区别。
还应注意空集的情形,验算端点。
2.关于定义域
复合函数的定义域,限制条件要找全。
应用问题实际意义。
3>
求值域,研究函数性质(周期性,单调性,奇偶性)时要首先考察定义域。
4>
方程,不等式问题先确定定义域。
3.关于对应法则
注:
分段函数,不同区间上对应法则不同
<
联系函数性质求解析式
4.值域问题
基本方法:
化为基本函数——换元(新元范围)。
化为二次函数,三角函数,……并结合函数单调性,结合函数图象,求值域。
均值不等式:
——形如和,积,及形式。
注意识别及应用条件。
几何背景:
——解析几何如斜率,曲线间位置关系等等。
易错点:
考察定义域
均值不等式使用条件
5.函数的奇偶性,单调性,周期性。
关注问题:
判定时,先考察定义域。
用定义证明单调性时,最好是证哪个区间上的单调性,在哪个区间上任取x1及x2。
求复合函数单调区间问题,内、外层函数单调区间及定义域,有时需分类讨论。
由周期性及奇偶性(对称性)求函数解析式。
5>
“奇偶性”+“关于直线x=k”对称,求出函数周期。
6.比大小问题
粗分。
如以“0”,“1”,“-1”等为分界点。
搭桥<
结合单调性,数形结合
比差、比商<
利用函数图象的凸凹性。
7.函数的图象
基本函数图象
图象变换①平移②对称(取绝对值)③放缩
复合变换时,有两种变换顺序不能交换。
如下:
I>
取绝对值(对称)与平移
例:
由图象,经过如何变换可得下列函数图象?
<
分析:
评述:
要由得到只能按上述顺序变换,两顺序不能交换。
II>
平移与关于y=x对称变换
y=f(x+3)的反函数与y=f-1(x+3)是否相同?
①的反函数。
②
∴两个函数不是同一个函数(也可以用具体函数去验证。
)
例1.判断函数的奇偶性及周期性。
定义域:
∴f(x)定义域关于原点对称,如图:
又
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)周期π的奇函数。
评述:
研究性质时关注定义域。
例2.<
设f(x)定义在R上的偶函数,且,又当x∈[-3,-2]时,f(x)=2x,求f(113.5)的值。
已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
解:
∵
∴,∴f(x)周期T=6,
∴f(113.5)=f(6⨯19-0.5)=f(-0.5).
当x∈(-1,0)时,x+3∈(2,3).
∵x∈(2,3)时,f(x)=f(-x)=2x.
∴f(x+3)=-2(x+3).
∴,
∴.
(法1)(从解析式入手)
∵x∈(1,2),则-x∈(-2,-1),
∴2-x∈(0,1),∵T=2.
∵f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.
∴f(x)=3-x,x∈(1,2).
小结:
由奇偶性结合周期性,将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。
(法2)(图象)
f(x)=f(x+2)
如图:
x∈(0,1),f(x)=x+1.
x∈(-1,0)→f(x)=-x+1.
x∈(1,2)→f(x)=-(x-2)+1=3-x.
从图象入手也可解决,且较直观。
例3.<
若x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<
logax恒成立,求a的取值范围。
已知二次函数f(x)=x2+ax+5对任意t都有f(t)=f(-4-t),且在闭区间Z[m,0]上有最大值5,最小值1,求m的取值范围。
设y1=(x-1)2,y2=logax
x∈(1,2),即x∈(1,2)时,曲线y1在y2的下方,如图:
∴a=2时,x∈(1,2)也成立,∴a∈(1,2].
①数形结合②变化的观点
③注意边界点,a=2,x取不到2,∴仍成立。
∵f(t)=f(-4-t),∴f(-2+t)=f(-2-t)
∴f(x
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