重庆中考数学25题专题及答案Word文档格式.docx
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设y=0则解得:
x1=2x2=-1
∴点B的坐标为(-1,0)C(0,-1)
设直线BC的解析式为:
y=kx+b
∴解得:
k=-1b=-1
∴直线BC的解析式为:
y=-x-1
在Rt△AOC中,∠AOC=900OA=2OC=1
由勾股定理得:
AC=
∵点B(-1,0)点C(0,-1)
∴OB=OC∠BCO=450
①当以点C为顶点且PC=AC=时,
设P(k,-k-1)
过点P作PH⊥y轴于H
∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k∣在Rt△PCH中
k2+k2=解得k1=,k2=-
∴P1(,-)P2(-,)---10分
②以A为顶点,即AC=AP=
过点P作PG⊥x轴于G
AG=∣2-k∣GP=∣-k-1∣
在Rt△APG中AG2+PG2=AP2
(2-k)2+(-k-1)2=5
解得:
k1=1,k2=0(舍)
∴P3(1,-2)----------------------------------11分
③以P为顶点,PC=AP设P(k,-k-1)
过点P作PQ⊥y轴于点Q
PL⊥x轴于点L
∴L(k,0)
∴△QPC为等腰直角三角形
PQ=CQ=k
由勾股定理知
CP=PA=k
∴AL=∣k-2∣,PL=|-k-1|
在Rt△PLA中
(k)2=(k-2)2+(k+1)2
k=∴P4(,-)------------------------12分
2、(本题满分12分)已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C,其顶点为D.
(1)求b、c的值并写出抛物线的对称轴;
(2)连接BC,过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E.
求证:
四边形ODBE是等腰梯形;
(3)抛物线上是否存在点Q,使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的?
若存在,求点Q的坐标;
若不存在,请说明理由.
2、
(1)求出:
,,抛物线的对称轴为:
x=2
(2)抛物线的解析式为,易得C点坐标为(0,3),D点坐标为(2,-1)
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F,易得F点坐标为(2,0),连接OD,DB,BE
∵OBC是等腰直角三角形,DFB也是等腰直角三角形,E点坐标为(2,2),
∴∠BOE=∠OBD=∴OE∥BD
∴四边形ODBE是梯形………………5分
在和中,
OD=,BE=
∴OD=BE
∴四边形ODBE是等腰梯形………………7分
(3)存在,………………8分
由题意得:
………………9分
设点Q坐标为(x,y),
=
当y=1时,即,∴,,
∴Q点坐标为(2+,1)或(2-,1)………………11分
当y=-1时,即,∴x=2,
∴Q点坐标为(2,-1)
综上所述,抛物线上存在三点Q(2+,1),Q(2-,1),Q(2,-1)
使得=.………………12分
3、(11分)如图,已知抛物线经过点,抛物线的顶点为,过作射线.过顶点平行于轴的直线交射线于点,在轴正半轴上,连结.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点从点出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线运动,设点运动的时间为.问当为何值时,四边形分别为平行四边形?
直角梯形?
等腰梯形?
(3)若,动点和动点分别从点和点同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为,连接,当为何值时,四边形的面积最小?
并求出最小值及此时的长.
(1)抛物线经过点,
1分
二次函数的解析式为:
3分
(2)为抛物线的顶点过作于,则,
4分
当时,四边形是平行四边形
5分
当时,四边形是直角梯形
过作于,则
(如果没求出可由求)
6分
当时,四边形是等腰梯形
综上所述:
当、5、4时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.7分
(3)由
(2)及已知,是等边三角形
则
过作于,则8分
=9分
当时,的面积最小值为10分
此时
11分
4.(本小题满分13分)
如图,抛物线经过三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标.
(1)该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为.
将,代入,
得解得
此抛物线的解析式为.(3分)
(2)存在.(4分)
如图,设点的横坐标为,
则点的纵坐标为,
当时,
,.
又,
①当时,
,
即.
解得(舍去),.(6分)
②当时,,即.
解得,(均不合题意,舍去)
当时,.(7分)
类似地可求出当时,.(8分)
当时,.
综上所述,符合条件的点为或或.(9分)
(3)如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为.
过作轴的平行线交于.
由题意可求得直线的解析式为.(10分)
点的坐标为.
.(11分)
.
当时,面积最大.
.
5.如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式;
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?
如果存在,求出点Q的坐标;
如果不存在,请说明理由.
⑴设二次函数的解析式为:
y=a(x-h)2+k
∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,)
∴y=a(x-4)2+k………………①
又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6
∴A(1,0),B(7,0)
∴0=9a+k………………②
由①②解得a=,k=
∴二次函数的解析式为:
y=(x-4)2-
⑵∵点A、B关于直线x=4对称
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x轴交于点M
∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴∴
∴点P的坐标为(4,)
⑶由⑴知点C(4,),
又∵AM=3,∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=,
∴∠ACM=60o,∵AC=BC,∴∠ACB=120o
①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N
如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有
BQ=6,∠ABQ=120o,则∠QBN=60o
∴QN=3,BN=3,ON=10,
此时点Q(10,),
如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,)
②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB,
此时点Q的坐标是(4,),
经检验,点(10,)与(-2,)都在抛物线上
综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为(10,)或(-2,)或(4,).
6、(12分)如图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;
(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?
为什么?
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?
若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;
(1)设该抛物线的解析式为,
由抛物线与y轴交于点C(0,-3),可知.
即抛物线的解析式为.………………………1分
把A(-1,0)、B(3,0)代入,得
解得.
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.……………………………………………3分
∴顶点D的坐标为.……………………………………………………4分
说明:
只要学生求对,不写“抛物线的解析式为y=x2-2x-3”不扣分.
(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.……………………………5分
理由如下:
过点D分别作轴、轴的垂线,垂足分别为E、F.
在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,∴.…………………………6分
在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,∴.…………………………7分
在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,∴.…………………………8分
∴,故△BCD为直角三角形.…………………………9分
(3)连接AC,可知Rt△COA∽Rt△BCD,得符合条件的点为O(0,0).………10分
过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1,可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD,
求得符合条件的点为.…………………………………………11分
过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2,可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD,
求得符合条件的点为P2(9,0).…………………………………………12分
∴符合条件的点有三个:
O(0,0),,P2(9,0).
7、如图,抛物线与轴交于两点A(-1,0),B(1,0),与轴交于点C.
(2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积;
(3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M,过M作MN⊥轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?
若存在,则求出点M的坐标;
(1)解:
(1)把AB代入得:
解得:
………………………………………………………………………3分
(2)令,得∴……………………………………………4分
∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=ABC=
∵BD∥CA,∴ABD=BAC
过点D作DE轴于E,则BDE为等腰直角三角形
令,则∴
∵点D在抛物线上∴
解得,(不合题意,舍去)
∴DE=
(说明:
先求出直线BD的解析式,再用两个解析式联立求解得到点D的坐标也可)
∴四边形ACBD的面积=AB•OC+AB•DE
………………………………7分
也可直接求直角梯形ACBD的面积为4)
(3)存在这样的点M……………………………………………………………………8分
∵ABC=ABD=∴DBC=
∵MN轴于点N,∴ANM=DBC=
在Rt△BOC中,OB=OC=有BC=
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