二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选.doc
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九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》
二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选
【例1】.已知:
如图一,抛物线与x轴正半轴交于A、B两点,与y
轴交于点C,直线经过A、C两点,且AB=2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移,且分别交y轴、线
段BC于点E、D,同时动点P从点B出发,沿BO方向以每秒2个单位速度运动,(如图2);当点P
运动到原点O时,直线DE与点P都停止运动,连DP,若点P运动时间为t秒;设,当
t 为何值时,s有最小值,并求出最小值。
(3)在
(2)的条件下,是否存在t的值,使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似;若存在,求t
的值;若不存在,请说明理由。
【答案】解:
(1)在中,由x=0得y=-2,∴C(0,-2)。
由y=0得x=2,∴A(2,0)。
∵AB=2,∴B(4,0)。
∴可设抛物线的解析式为,代入点C(0,-2)得。
∴抛物线的解析式为。
(2)由题意:
CE=t,PB=2t,OP=4-2t。
∵ED∥BA,∴△CED∽△COB。
∴,即。
∴ED=2t。
∴。
∴当t=1时,有最大值1。
∴当t=1时,的值最小,最小值是1。
(3)存在。
设BC所在直线的解析式为y=kx+b,由B(4,0),C(0,-2)得
,解得,∴C所在直线的解析式为。
由题意可得:
D点的纵坐标为t-2,则D点的横坐标为2t。
∴。
又。
∵∠PBD=∠ABC,∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况:
当时,即,解得;
当时,即,解得。
综上所述,当或时,以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值,相似三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】
(1)求出C、A、B的坐标,设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-4),代入点C的坐标求出a即可。
(2)由题意:
CE=t,PB=2t,OP=4-2t,由ED∥BA得出△CED∽△COB,从而,求出ED=2CE=2t,根据,根据二次函数的最值求出即可。
(3)以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况:
和代入求出即可。
【例2】.如图,矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上,且OD=10,OB=8.将矩形的边BC绕点B逆时针旋转,使点C恰好与x轴上的点A重合.
(1)直接写出点A、B的坐标:
A(,)、B(,);
(2)若抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B,则这条抛物线的解析式是;
(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点,作MN⊥x轴于点N.问是否存在点M,使△AMN
与△ACD相似?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;
(4)当≤x≤7,在抛物线上存在点P,使△ABP的面积最大,求△ABP面积的最大值.
【答案】解:
(1)(6,0),(0,-8)。
(2)。
(3)存在。
设M,
则N(m,0)MN=,NA=6-m。
又DA=4,CD=8,
①若点M在点N上方,,则△AMN∽△ACD。
∴,即,解得m=6或m=10。
与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。
∴此时不存在点M,使△AMN与△ACD相似。
②若点M在点N下方,,则△AMN∽△ACD。
∴,即,解得m=-2或m=6。
与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。
∴此时不存在点M,使△AMN与△ACD相似。
③若点M在点N上方,,则△AMN∽△ACD。
∴,即,方程无解。
∴此时不存在点M,使△AMN与△ACD相似。
④若点M在点N下方,,则△AMN∽△ACD。
∴,即,解得m=或m=6。
当m=时符合条件。
∴此时存在点M(,),使△AMN与△ACD相似。
综上所述,存在点M(,),使△AMN与△ACD相似。
(4)设P(p,),
在中,令y=0,得x=4或x=6。
∴≤x≤7分为≤x<4,4≤x<6和6≤x≤7三个区间讨论:
①如图,当≤x<4时,过点P作PH⊥x轴于点H
则OH=p,HA=6-p,PH=。
∴
∴当≤x<4时,随p的增加而减小。
∴当x=时,取得最大值,最大值为。
②如图,当4≤x<6时,过点P作PH⊥BC于点H,过点A作AG⊥BC于点G。
则BH=p,HG=6-p,PH=,
∴
∴当4≤x<6时,随p的增加而减小。
∴当x=4时,取得最大值,最大值为8。
③如图,当6≤x≤7时,过点P作PH⊥x轴于点H。
则OH=p,HA=p-6,PH=。
∴
∴当6≤x≤7时,随p的增加而增加。
∴当x=7时,取得最大值,最大值为7。
综上所述,当x=时,取得最大值,最大值为。
【考点】二次函数综合题,矩形的性质,旋转的性质,勾股定理,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定,二次函数的性质。
【分析】
(1)由OD=10,OB=8,矩形的边BC绕点B逆时针旋转,使点C恰好与x轴上的点A重合,可得OA2=AB2-OB2=102-82=36,∴OA=6。
∴A(6,0),B(0,-8)。
(2)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B,
∴,解得。
∴这条抛物线的解析式是。
(3)分①若点M在点N上方,,②若点M在点N下方,,③若点M在点N上方,,④若点M在点N下方,四种情况讨论即可。
(4)根据二次函数的性质,分≤x<4,4≤x<6和6≤x≤7三个区间分别求出最大值,比较即可。
【例3】.在平面直角坐标系xoy中,一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边AB
在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点A(-1,0).
(1)请直接写出点B、C的坐标:
B(,)、C(,);并求经过A、B、C三点的抛物
线解析式;
(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把顶点E放在线段
AB上(点E是不与A、B两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C.此时,EF所在直线与
(1)
中的抛物线交于第一象限的点M.
①设AE=x,当x为何值时,△OCE∽△OBC;
②在①的条件下探究:
抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形,若存在,请求
点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:
(1)B(3,0),C(0,)。
∵A(—1,0)B(3,0)
∴可设过A、B、C三点的抛物线为。
又∵C(0,)在抛物线上,∴,解得。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式即。
(2)①当△OCE∽△OBC时,则。
∵OC=,OE=AE—AO=x-1,OB=3,∴。
∴x=2。
∴当x=2时,△OCE∽△OBC。
②存在点P。
由①可知x=2,∴OE=1。
∴E(1,0)。
此时,△CAE为等边三角形。
∴∠AEC=∠A=60°。
又∵∠CEM=60°,∴∠MEB=60°。
∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称。
∵C(0,),∴M(2,)。
过M作MN⊥x轴于点N(2,0),
∴MN=。
∴EN=1。
∴。
若△PEM为等腰三角形,则:
ⅰ)当EP=EM时,∵EM=2,且点P在直线x=1上,∴P(1,2)或P(1,-2)。
ⅱ)当EM=PM时,点M在EP的垂直平分线上,∴P(1,2)。
ⅲ)当PE=PM时,点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点,∴P(1,)
∴综上所述,存在P点坐标为(1,2)或(1,—2)或(1,2)或(1,)时,
△EPM为等腰三角形。
【考点】二次函数综合题,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,相似三角形的性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的判定。
【分析】
(1)由已知,根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长,从而求得点
B、C的坐标。
设定交点式,用待定系数法,求得抛物线解析式。
(2)①根据相似三角形的性质,对应边成比例列式求解。
②求得EM的长,分EP=EM,EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。
【例4】.已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B,抛物线的顶点M在直线AB上,且抛物线与直线AB的另一个交点为N.
(1)如图①,当点M与点A重合时,求:
①抛物线的解析式;(4分)
②点N的坐标和线段MN的长;(4分)
(2)抛物线在直线AB上平移,是否存在点M,使得△OMN与△AOB相似?
若存在,
直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(4分)
【答案】解:
(1)①∵直线与x轴和y轴分别交于点A和点B,∴A(,0),B(0,-5)。
当顶点M与点A重合时,∴M(,0)。
∴抛物线的解析式是:
,即。
②∵N是直线与在抛物线的交点,
∴,解得或。
∴N(,-4)。
如图,过N作NC⊥x轴,垂足为C。
∵N(,-4),∴C(,0)
∴NC=4.MC=OM-OC=。
∴。
(2)存在。
点M的坐标为(2,-1)或(4,3)。
【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定。
【分析】
(1)①由直线与x轴和y轴分别交于点A和点B,求出点A、B的坐标,由顶点M与点A重合,根据二次函数的性质求出顶点解析式。
②联立和,求出点N的坐标,过N作NC⊥x轴,由勾股定理求出线段MN的长。
(2)存在两种情况,△OMN与△AOB相似:
情况1,∠OMN=900,过M作MD⊥x轴,垂足为D。
设M(m,),则OD=m,DM=。
又OA=,OB=5,
则由△OMD∽△BAO得,,即,解得m=2。
∴M(2,-1)。
情况2,∠ONM=900,若△OMN与△AOB相似,则∠OMN=∠OBN。
∴OM=OB=5。
设M(m,),则解得m=4。
∴M(4,3)。
综上所述,当点M的坐标为(2,-1)或(4,3)时,△OMN与△AOB相似。
【例5】.在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的关系解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
考生注意:
下面的(3)、(4)、(5)题为三
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