《流体力学》典型例题讲课稿Word下载.docx
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根据牛顿黏性定律
例题4:
如图所示的双U型管,用来测定比水小的液体的密度,试用液柱高差来确定未知液体的密度
(取管中水的密度
=1000kg/m3)。
根据等压面的性质,采用相对压强可得:
例题5:
如图所示,U型管中水银面的高差h=0.32m,其他流体为水。
容器A和容器B中心的位置高差z=1m。
求A、B两容器中心处的压强差(取管中水的重度
=9810N/m3,水银的重度
=133416N/m3)。
根据等压面的性质可得:
,
例题6:
如图所示,仅在重力场作用下的无盖水箱高H=1.2m,长L=3m,静止时盛水深度h=0.9m。
现水箱以
的加速度沿水平方向做直线运动。
若取水的密度
,水箱中自由水面的压强
=98000Pa。
试求:
(1)水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。
(2)水箱中的水不致溢出时的最大加速度
(1)如图所示,将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点,z轴垂直向上,x轴与加速度的方向一致。
则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为
代入非惯性坐标系中的压力全微分公式
,得
①
积分得
利用边界条件确定积分常数
:
在坐标原点O(
)处,
由式①可得水箱内的压强分布
对于水箱中的等压面,有
,所以由式①可得等压面的微分方程
上式给出了一簇斜率为
的倾斜平面,就代表水箱加速运动的一簇等压面,自由水面是等压面中的一个,因自由水面通过坐标原点,可确定积分常数
因此自由水面方程为
(2)假设水箱以加速度
运动时,其中的水刚好没有溢出,且此时水箱右侧水的深度为
,则根据加速前后水的体积不变的性质可得
②
又根据水箱作水平等加速直线运动时,自由表面的斜率与几何长度之间的关系
③
②和③式联立求解,得:
例题7:
有一盛水的旋转圆筒,直径D=1m,高H=2m,静止时水深为h=1.5m。
求:
(1)为使水不从筒边溢出,旋转角速度
应控制在多大?
(2)当
=6rad/s时,筒底G、C点处的相对压强(相对于自由水面)分别为多少?
(1)若将坐标原点放在筒底的中心位置,并假设自由表面最低点的高度为
,则由:
,可推出自由水面(为一等压面)的方程:
根据在水没有溢出的情况下,旋转前后水的体积不变的性质,可得:
由此可求得:
,带入自由表面方程得:
若使
达到某一最大值而水不溢出,则有
时,
,带入上式,得
(2)旋转容器中任意一点的相对压强可表达为
将G点条件:
带入得:
同理,将C点条件:
例题8:
如图所示为一圆柱形容器,直径为
,高
,容器内装水,水深为
,使容器绕垂直轴做等角速旋转,试确定水正好不溢出来的转速
以自由液面的最低处为坐标原点,自由液面方程为
旋转后无水的体积为:
例9已知平面直角坐标系中的二维速度场
(1)迹线方程;
(2)流线方程;
(3)
时刻,通过(1,1)点的流体微团运动的加速度;
(4)涡量,并判断流动是否有旋。
(1)将
代入迹线方程
得:
解这个微分方程得迹线的参数方程:
其中,
是积分常数(拉格朗日变数)。
消掉时间t,并给定
即可得到以
表示的流体质点
的迹线方程。
例如:
已知欧拉法表示的速度场
,求流体质点的迹线方程,并说明迹线形状。
将
代入迹线微分方程:
,得:
分离变量并积分,得:
从上两式中消去时间t得迹线方程:
即:
可见,该流场中流体质点的迹线为一双曲线。
(2)将
代入流线微分方程
看成常数,积分上式得流线方程:
或
(3)由质点导数的定义可得流动在x和y方向的加速度分量分别为:
所以,
时刻,通过(1,1)点的流体微团运动的加速度为:
(4)由涡量的定义,对于题中所给的平面流动有:
所以流动无旋。
例10已知二维速度场为
(教材P68)
(1)证明该速度分布可以表示不可压缩流体的平面流动;
(2)求该二维流场的流函数;
(3)证明该流动为势流;
(4)求速度势函数。
(1)平面流动判定
不可压缩流体平面流动的连续方程为
由已知条件可求
,可见速度分布满足连续方程。
故可以表示不可压缩流体的平面运动。
(2)流函数
的确定
按流函数定义和已知条件有
(1)
(2)
积分式
(1)得
(3)
为确定函数
,将式(3)对
求偏导,并按流函数定义令其等于
,即
(4)
由式(4)可以判定
,积分求
得
(5)
其中
为积分常数。
将式(5)代入式(3),得:
(3)有势流动判定
判定流动是否为有势流有两种方法。
方法一:
是直接利用速度场求旋度看其是否为零
由此可以判定流动为有势流。
方法二:
看流函数是否满足拉普拉斯方程(因为平面不可压缩势流同时存在流函数和势函数):
流函数满足拉普拉斯方程,流动为势流。
(4)势函数
按势函数定义和已知条件有
(6)
(7)
积分式(6)得
(8)
,将式(8)对
求偏导,并按势函数定义式(7)令其等于
(9)
由式(9)可以判定
(10)
将式(10)代入式(8),得:
因已证明流动为有势流,则必然存在势函数,且
和
已知,可利用势函数的全微分:
,作不定积分求
例11:
证明:
所表示的流动是势流,并求出该流动的速度势函数。
1)判断流动是否为势流
方法一
对于
平面内的流动,
说明流动无旋,所以是势流。
方法二
流函数
满足Laplace方程,所以流动是势流。
2)因为
所以
又因为
于是
教材习题:
3.8三维不可压缩流场中
,且已知
处
,试求流场中的
表达式,并检验是否无旋?
由连续方程
积分得:
由
=0得:
c=0
所以流场中的
表达式为
由于
可见,当
时,该流体运动是无旋的;
当
时,该流体运动是有旋的。
3.9已知二元流场的速度势为
(1)试求
,并检验是否满足连续条件和无旋条件。
(2)求流函数。
(1)
,满足连续方程;
,流动无旋。
(2)由流函数的定义:
积分式
得
将式③对x求偏导,并令其等于
,可得
于是,流函数为:
3.10不可压缩流场的流函数为
(1)证明流动有势
(2)并求速度势函数。
(3)求(1,1)点的速度。
(1)因为
,即流动无旋,也即有势。
(2)因为
对上式作不定积分得速度势函数:
(3)由
,得,(1,1)点的速度为:
3.11已知
,试求此流场中在
点处的线变率、角变率和角速度。
线变率为:
角变率为:
角速度为:
例题12:
如图所示,有一水平放置的喷管水射流装置,由直管段和收缩形喷管组成,喷嘴与直管段的接头用螺栓连接。
水流从喷嘴喷出,冲击到一块垂直平板上。
已知:
喷管上游直管段的截面积
,水的压强
(表压,即相对于大气压的值),喷管出口截面积
若将射流视为不可压缩流体的稳态流动,且不计粘性和重力的影响。
(1)喷管与直管段接头处所受的拉力;
(2)平板所受的水流的冲击力。
建立如图所示的坐标系,取x轴所在的水平面为基准面;
选取控制体,确定控制面;
分析控制体受力:
假定喷管壁面对水的作用力在水平方向的分量为
,沿x轴的负方向;
垂直平板对射流的作用力为
,沿x轴的负方向。
对1-1和2-2截面列伯努利方程:
,将已知条件
(相对压强)代入伯努利方程,得:
(A)
又由质量守恒方程
,可得:
(B)
联立求解(A)和(B)可得:
(1)针对1-1和2-2截面间的控制体,列x方向的动量方程:
可求得喷管壁面对水流的作用力:
为正值,说明喷管壁面对水流的作用力方向与初始假定的方向相同,水流对喷管壁面沿水平方向的作用力
为
的反作用力,故有
,即喷管与直管段接头处所受的拉力为57.6N。
(2)针对2-2、3-4和4-4截面间的控制体(该控制体周围的压强均为大气压强,故不考虑压强引起的作用力),列x方向的动量方程:
可求得垂直平板对射流的作用力:
为正值,说明垂直平板对射流的作用力方向与初始假定的方向相同,射流对垂直平板的作用力
例题13:
如图所示,将一平板放在自由水射流中,并垂直于射流的轴线,该平板截去射流的一部分
,并引起射流其余部分偏转角度
已知
(升/秒),
求射流对平板的作用力R及射流的偏转角
(不计摩擦力及水的重量的影响,取水的密度
)。
建立坐标系,选取控制体,确定控制面。
分析受力(假定力的方向):
由于不计摩擦力的影响,平板对射流只有沿垂直于平板方向的法向作用力
(假设其方向向左),而沿平行于平板方向的切向摩擦力
于是可列出x和y方向的动量方程:
根据已知条件和连续性方程:
将其他已知条件带入,可以求得:
射流对平板的作用力
,方向向右。
例题14:
如图所示连续管系中的90
渐缩弯管放在水平面上,管径
,入口处平均流速
,静压
(计示压强)。
如不计能量损失,试求支撑弯管在其位置所需的水平力?
可得:
由
例题15:
离心式风机可采用如图3所示的集流器来测量流量,已知风机入口侧管道直径
,U形管读数
水与空气的密度分别为
,忽略流动的能量损失,求空气的体积流量
针对在风机入口前断面1-1和U型管所在的风筒截面2-2列伯努里方程:
由静力学基本方程:
带入上式,得:
空气的体积流量
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