含参变量不等式问题附答案.docx
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含参变量不等式问题附答案
含参变量不等式问题
【学习目标】
了解参变量的含义,会解含参变量的简单不等式,会探究含参变量的不等式在某范围内恒成立等简单问题,从而培养分类与整合的数学思想.
【基础检测】
1.已知关于x的方程-x=ax+1有一负根,则实数a的取值范围是()
A.a>-1B.a=1
C.a≥1D.a≤1
2.若log2a
<0,则a的取值范围是()
A.(
,+∞)B.(1,+∞)
C.(
,1)D.(0,
)
3.若对任意的x∈(-∞,-1],不等式(m2-m)2x-(
)x<1恒成立,则实数m的取值范围是()
A.(-2,3)B.(-3,3)
C.(-2,2)D.(-3,4)
4.若不等式x2+2+|x3-2x|≥ax对任意x∈(0,4)恒成立,则实数a的取值范围是.
5.若关于x的不等式(2x-1)2<ax2的解集中的整数恰有3个,则实数a的取值范围是.
【知识要点】
1.含参变量的不等式的基本问题类型
类型Ⅰ:
解含参变量的不等式(或组)问题.此类数学问题求解时,既要遵循解常系数不等式的一般途径和算法思想,又要根据问题情境恰当选择某种标准,应用分类讨论思想,针对参变量在不同区域取值时,求得不等式的解集.
类型Ⅱ:
含参变量的不等式在给定范围恒成立,求参变量的允许值范围问题.该类数学问题的求解,常常应用不等式的性质进行“变量分离”,即将变量与主变量分离,然后将问题化归为函数在某范围内的最值问题求解.
2.分类讨论的思想方法
分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想.分类讨论的标准由引起分类讨论的原因确定,分类时一定要确保“各类的交集为空集”,即不重复,又要确保“各类的并集是全集”,即不遗漏.
分类原则是:
(1)施行分类的集合的全域必须是确定的;
(2)每一次分类的标准必须是同一的;(3)分类必须是完整的,不出现遗漏;(4)各子集域必须是互斥的,不出现重复;(5)如需多次分类,必须逐级进行,不得越级.
一、含参变量不等式的解法
例1解关于x的不等式:
(m+1)x2-4x+1≤0(m∈R).
【点评】解含参数的一元二次不等式时,常需分类讨论,分类讨论的出发点有:
(1)二次项系数;
(2)判别式;(3)两根的大小.
例2、设函数f(x)=
,集合M={x|f(x)<0},P={x|f′(x)>0},若MP,求实数a的取值范围.
二、恒成立问题
例3已知函数f(x)=ex-kx,x∈R.
(1)若k=e,试确定函数f(x)的单调区间;
(2)若k>0,且对于任意x∈R,f(
)>0恒成立,试确定实数k的取值范围.
例4已知函数f(x)=lnx-ax+
-1(a∈R).
(1)当a≤
时,讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=x2-2bx+4,当a=
时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b的取值范围.
【点评】这是一个含参问题,需分类讨论,分类讨论时需把握好出发点,如
(1)中,a与零的比较成为分类讨论的出发点.第
(2)问中,注意等价转换为g(x)min≤-
.
〔备选题〕例5已知函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.
(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;
(2)求f(x)的最小值;
(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.
方法总结:
1.求解含参变量不等式时,往往需要分类讨论,而分类时讲究分类标准的一致性,并注意确保“不重不漏”.
2.解决含参变量恒成立的不等式问题的步骤是:
①分离变量:
即将参变量与主变量分开,分别分布在不等式两侧.
②求最值:
要使h(a)≥f(x)恒成立,只需h(a)≥f(x)max;要使h(a)≤f(x)恒成立,只需h(a)≤[f(x)]min.
同时应注意若不能分离变量,则将恒成立问题转化化归为函数问题,利用数形结合求解.
(2011北京)已知函数f(x)=(x-k)2
.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤
,求k的取值范围.
练习:
1.已知loga
<1,则a的取值范围是()
A.0<a<
B.a>1C.0<a<
或a>1D.a>
2.关于x的不等式x2-4ax-5a2>0(a<0)的解集是()
A.{x|5a<x<-a}B.{x|-a<x<5a}
C.{x|x<5a或x>-a}D.{x|x>5a或x<-a}
3.已知a>0,a≠1,f(x)=x2-ax,当x∈(-1,1)时,均有f(x)<
,则实数a的取值范围是()
A.(0,
]∪[2,+∞)B.[
,1)∪(1,4]C.[
,1)∪(1,2]D.(0,
]∪[4,+∞)
4.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a<b),若对任意x∈R,f(x)≥0恒成立,则A=
的最小值为.
5.已知函数f(x)=2ax+4a+6,当x∈[-1,1]时,f(x)的值有正有负,则a的取值范围是.
6.设a,b∈R,关于x的不等式a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2,若a=b,则不等式的解集为;若a≠b,则不等式的解集为.
7.解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
8.设函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;
(2)若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
含参变量不等式问题参考答案
1、【解析】因为ax+x=-1,即(a+1)x=-1,显然a≠-1,所以x=
<0,∴a>-1.
2、【解析】
或
,∴
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