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随着人们的生活不断提高,旅游已成为提高人们生活质量的重要活动。
江苏徐州有一位旅游爱好者打算现在的今年的五月一日早上8点之后出发,到全国一些著名景点旅游,最后回到徐州。
由于跟团旅游会受到若干限制,他(她)打算自己作为背包客出游。
他预选了十个省市旅游景点,如表1所示。
表1.
预选的十个省市旅游景点
省市
景点名称
在景点的最短停留时间
江苏
常州市恐龙园
4小时
山东
青岛市崂山
6小时
北京
八达岭长城
3小时
山西
祁县乔家大院
河南
洛阳市龙门石窟
安徽
黄山市黄山
7小时
湖北
武汉市黄鹤楼
2小时
陕西
西安市秦始皇兵马俑
江西
九江市庐山
浙江
舟山市普陀山
本文的核心问题是在不同的约束条件下,建立起一个能用最少的时间和费用浏览最多景点,最终要回到自己原地点的一个数学模型。
2问题的分析
2.1要解决的问题
(1)如果时间不限,游客将十个景点全游览完,至少需要多少旅游费用?
请建立相关数学模型并设计旅程表。
(2)如果旅游费用不限,游客将十个景点全游览完,至少需要多少时间?
(3)如果这位游客准备2000元旅游费用,想尽可能多游览景点,请建立相关数学模型并设计旅程表。
(4)如果这位游客只有5天的时间,想尽可能多游览景点,请建立相关数学模型并设计旅程表。
(5)如果这位游客只有5天的时间和2000元的旅游费用,想尽可能多游览景点,请建立相关数学模型并设计旅程表。
2.2对应的解决方法
问题一:
问题一中,我们采用flody算法算出最短路径后,以此为基准进行路线的设计。
为了尽量减少费用,我们以火车为主要交通工具,并尽量避免住宿费。
这个过程涉及火车班次的灵活选择。
问题二:
问题二中,我们同样是在flody算法为基准的条件下,尽量减少时间。
由于旅游景点的时间是确定的,为此我们尽量减少旅行时间和尽量减少住宿。
所以交通工具以飞机为主。
问题三:
问题三中,本问题的优化目标是在费用的约束下旅游更多的景点。
这个问题可以看成是问题一扩展。
优化方法一样,只不过少了要游完所有景点这一约束条件,多了费用约束(费用《=2000)
问题四:
问题四中,本问题的优化目标是在时间的约束下旅游更多的景点。
这个问题可以看成是问题二的扩展。
优化方法一样,只不过少了要游完所有景点这一约束条件,多了时间约束(时间《=5*24=120)
问题五:
问题五可以说是所有问题的结合,时间约束和费用约束同时存在。
这里我们在三四问题的基础上尽量求出最优解。
3模型的假设
(A)城际交通出行可以乘火车(含高铁)、长途汽车或飞机(不允许包车或包机),并且车票或机票可预订到。
(B)市内交通出行可乘公交车(含专线大巴、小巴)、地铁或出租车。
(C)旅游费用以网上公布为准,具体包括交通费、住宿费、景点门票(第一门票)。
晚上20:
00至次日早晨7:
00之间,如果在某地停留超过6小时,必须住宿,住宿费用不超过200元/天。
吃饭等其它费用60元/天。
(D)假设景点的开放时间为8:
00至18:
00。
(E)交通状况良好,不出现堵车、晚班、晚点情况
4定义和符号说明
1、
旅游景点的个数
2、
选择第i条路线总费用
3、
选择第i条路线总时间
4`
个点可选择路线的总数
5、
吃饭等其他费用
6、
第i条路线到景点j间的路费
7、
第i条路线第j个景点的门票
8、
第i条路线第j个景点的住宿费用
9、
第i条路线到第j个景点的路上时间
10、
第i条路线第j个景点的停留时间
11、
第i条路线第j个景点的住宿时间
12、
其他时间,包括吃饭、等待时间等
13、
第i条路线第j个景点是否需要住宿(0--1变量)
5模型的建立和求解
5.1建立模型
第一问是在时间充裕的情况下,设计一条路线,使得所用费用尽可能的少,属于单目标优化问题。
十个景点中选择n个景点,我们需要根据手头资90料,理想化一些情况。
设计出每条路径的总费用和总时间各自的表达式。
我们引入一变量
=1第条路线在第个景点需要住宿0第条路线在第个景点不需要住宿
则:
又引入函数k来表示时间和费用和景点个数间的函数关系
我们将各种路况信息,收费情况等收集并放到集合R(收集的信息过于庞大,故不在报告中显示出来)中,将可选择的路线放到集合I中。
下面是每个题的解题过程:
第一问:
旅游费用尽可能少作为目标,时间无限制,只有一个约束条件(要游玩10个景点)可用下面模型来描述。
根据R和I中数据确定最好的路线。
第二问:
时间为作为优化的目标,对费用没有要求,限制条件和第一问相同。
可用下面模型来描述。
限制条件:
第三问:
可旅游景点个数为优化对象,这里对旅游费用作为约束条件。
如下:
第四问:
这一问可以理解为在第三问的基础上对时间进行了约束,因为优化目标是相同的。
如下:
第五问:
把每个旅游景点看做一个节点,各景点之间的距离长度看做对应节点间的权长。
旅游路线图就转化为加权网络图Q,最佳旅游路线问题就转化为在给定的加权网络图中寻找使得总权(路程)最小,此即TSP问题。
对于本问题:
设I1,I2,I3..........,In是要旅游的景点,Ii到Ij的路程为dij,现在求从I0(徐州)出发,游遍所有景点且只经过一次的最短路程。
我们将此问题类比著名的货郎担问题,建立如下动态规划模型。
设U表示从I0到Ii中间可能经过的景点集合,U包含除I0和Ii之外的其余点的集合,I点中的个数是随不同问题而改变。
为了表示行进状态,令坐标(i,u)表示从I0出发,经过U集合中所有点一次最后到达Ii。
用最优指标函数Mk(i,u)表示从I0出发,经过U集合中所有点一次最后到达Ii。
则动态规划的顺序递推关系为:
<
=10且
为整数,j属于U。
根据上述模型,我们只要输入约束条件和优化目标就可以规划出最优的路线。
5.2模型求解
模型建立中我们将路线选择问题类比为货郎担问题,采用floyd算法求出通过所有景点路径之和的最小值。
问题一和问题二据此得到解决。
为了便于下面的描述,我们给每个景点进行编号。
当然过程中将路线路程理想化。
图表如下:
表2.景点门票和编号
景点编号
景点门票价/元
徐州
1
100
2
65
3
80
4
72
5
108
6
150
7
8
9
180
10
160
根据图论的相关知识,TSP问题套用最佳哈密尔顿回路的问题结论进行求解。
得到最佳旅游线路的近似算法。
(1)用Floyd算法求出图中任意两点之间的最短路,构建一个完备图G'
点集仍为N,每条边(i,j)的权为点i和j在Q中最短路的长。
(2)搜索图Q的若干个H圈。
(3)用二边逐次修正法对步骤二中的H圈进行优化,得到理论上最佳H圈。
求解过程:
任意两坐标点间的权值,也即两点间的距离可用矩阵表示,如下:
A=[0430427752683470616565784633787
4300611113010778343196611160547388
42761107008628358079831147979904
7521130700057884313041208108813551438
68310778625780364120288551110531455
47083483584336408465573387651218
6163198071304120284605071134328520
56566198312088855575070750245958
784116011471088511338113475009891539
633547979135510537653282459890769
78738890414381455121852095815390]
用Floyd算法求出图中任意两点之间的最短路,Mtalab源程序见附录1:
运行结果:
Columns1through11
023485796101
sum=427+700+578+511+388+557+245+328+520+430=4207
根据结果得到最小的H圈如下图
图1
我们对所得到的最佳H圈继续进行验证,得到了最佳旅游路线,跟算法得出的结果相同,即为:
0—2—3—4—8—5—7—9—6—10—1
由于第一问对时间无限制,尽可能的减少旅游费用。
所以我们旅行工具采用火车为主。
用最小行程的方法求解出路线。
具体行程表如下:
五一出行行程表(不限时间)
时间
行程
5月1日
乘火车(K68/K69)(22:
30-次日6:
53),乘公交车去崂山风景区游玩(7:
00-11:
30)
5月2日
乘坐火车(D338)去北京(14:
30-19:
46),住宿
5月3日
早上起游玩八达岭长城(8:
00),乘火车(K603)去山西祁县(17:
17-5:
08)
5月5日
早上起去游玩乔家大院(8:
00),晚上乘火车(1095)去陕西西
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