福建省泉州市届高三下学期第二次质量检查数学理扫描版附详细答案文档格式.docx
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的图象可由函数
的图象上下平移得到,
因此,
的图象如图一所示,要使得
有更多的解,
即函数
的图象与
轴有更多的交点,则应将
的图象尽可能向下平移,即
要取负数,如图二所示,
此时
有四个解,分别是
和
把
视为整体,则由图三可得,方程
的解分别为:
有2个解;
有3个解;
有4个解;
综上,方程
的实数解最多有12个,故选D.
二、填空题:
本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分20分.
(13)
(14)
(15)
(16)
(16)解析:
记
由
得
所以数列
为首项
,公比为
的等比数列,
为常数数列,
同理
可得
记数列
的前
项和为
,由错位相减法求得
数列
项和
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
的内角
的对边分别为
,且
.
(Ⅰ)求
;
(Ⅱ)若
,求
的面积.
【命题意图】本小题主要考查正弦定理,余弦定理,三角恒等变换,三角形面积等基础知识;
考查运算求解能力等;
考查化归与转化思想、函数与方程思想等;
考查数学抽象,数学运算等.
【试题简析】
解法一:
(Ⅰ)由已知得
1分
,3分
,4分
,5分
.6分
(Ⅱ)由
得,
,7分
在
中,
8分
,9分
由正弦定理
,10分
11分
..12分
解法二:
,2分
化简得
即
(Ⅱ)同解法一.
(18)(本小题满分12分)
如图,在四棱锥
,点
为
的中点.
(Ⅰ)求证:
平面
(Ⅱ)若平面
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
图18-1
【命题意图】本小题主要考查线面平行的判定,面面垂直的性质,线面角正弦值的求解等基础知识;
考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力等;
考查数形结合思想、化归与转化思想等;
考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等.
(Ⅰ)取
中点
,连结
因为点
的中点,所以
且
,1分
又因为
所以四边形
为平行四边形,3分
又
.5分
(Ⅱ)在平面
中,过
作
,在平面
因为平面
,平面
两两互相垂直.6分
以
为原点,向量
的方向分别为
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系
(如图),则
,8分
设
是平面
的一个法向量,
则
9分
取
,得
.10分
设直线
所成角为
,11分
所以直线
所成角的正弦值为
.12分
又因为点
,所以四边形
为平行四边形,所以
,又
,所以平面
(Ⅱ)同解法一.
(19)(本小题满分12分)
某工厂有两台不同机器A和B生产同一种产品各10万件,现从各自生产的产品中分别随机抽取20件,进行品质鉴定,鉴定成绩的茎叶图如下所示:
A机器生产的产品
B机器生产的产品
12
3455
0224566789
6689
9
8
7
6
321
986422110
88876554
该产品的质量评价标准规定:
鉴定成绩达到
的产品,质量等级为优秀;
的产品,质量等级为良好;
的产品,质量等级为合格.将这组数据的频率视为整批产品的概率.
(Ⅰ)从等级为优秀的样本中随机抽取两件,记
为来自B机器生产的产品数量,写出
的分布列,并求
的数学期望;
(Ⅱ)完成下列
列联表,以产品等级是否达到良好以上(含良好)为判断依据,判断能不能在误差不超过0.05的情况下,认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的机器有关;
A生产的产品
B生产的产品
合计
优秀
普通
(
)已知优秀等级产品的利润为12元/件,良好等级产品的利润为10元/件,合格等级产品的利润为5元/件,A机器每生产10万件的成本为20万元,B机器每生产10万件的成本为30万元;
该工厂决定:
按样本数据测算,两种机器分别生产10万件产品,若收益之差达到5万元以上,则淘汰收益低的机器,若收益之差不超过5万元,则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗?
附:
1.独立性检验计算公式:
2.临界值表:
【命题意图】本小题主要考查茎叶图,独立性检验;
考查学生利用概率与统计知识解决实际问题的能力;
考查学生的阅读理解能力及转化与化归能力.
【试题简析】解:
(Ⅰ)从茎叶图可以知道,样本中优秀的产品有2个来自A机器,3个来自B机器;
的可能取值为
.1分
.3分
的分布列为:
1
2
0.1
0.6
0.3
.4分
(Ⅱ)由已知可得,
列联表为
良好以上
14
20
合格
12
18
22
40
5分
所以不能在误差不超过0.05的情况下,认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的机器有关..8分
)A机器每生产10万件的利润为
万元,9分
B机器每生产10万件的利润为
万元,10分
所以该工厂不会仍然保留原来的两台机器,应该会卖掉A机器,同时购买一台B机器.12分
(20)(本小题满分12分)
在平面直角坐标系
中,已知椭圆
经过点
,离心率为
的方程;
(Ⅱ)过
的左焦点
且斜率不为
的直线
与
相交于
两点,线段
的中点为
,直线
与直线
相交于点
,若
为等腰直角三角形,求
的方程.
【命题意图】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识;
考查推理论证能力、运算求解能力等;
考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等;
(Ⅰ)依题意,得
2分
解得
3分
的方程为
....4分
(Ⅱ)易得
,可设直线
联立方程组
消去
,整理得
,6分
由韦达定理,得
,令
的斜率为
,所以直线
恒保持垂直关系,10分
故若
为等腰直角三角形,只需
,从而直线
的方程为:
或
.12分
(21)(本小题满分12分)
函数
的图像与直线
相切.
的值;
(Ⅱ)证明:
对于任意正整数
【命题意图】本题考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性、极值、不等式等问题;
考查推理论证能力、运算求解能力;
考查化归与转化思想、分类与整合思想.
(Ⅰ)
.1分
与曲线
相切于点
依题意得:
整理得,
……(*)..3分
令
所以,当
时,
单调递增;
当
单调递减.
取得最小值
故方程(*)的解为
,此时
..6分
(Ⅱ)(
)由(Ⅰ)知,
,.7分
因此
,…,
上式累加得:
.9分
)令
,则
.
所以当
单调递减;
单调递增.
取得最大值
得:
综上,
.12分
请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答.注意:
只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
(22)(本小题满分10分)选修
:
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
为参数),直线
为参数),在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,射线
的极坐标方程;
(Ⅱ)设
分别交于异于原点的
两点,求
的最大值.
【命题意图】本题主要考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位置关系等基础知识;
(Ⅰ)曲线
的一般方程为
的极坐标方程为
极坐标方程为
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