高一物理竞赛讲义第3讲教师版Word文档下载推荐.docx

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遛狗的时候，每个狗的力是作用在一起的，所以遛狗越多，需要的力越大。

但是每个狗都有个速度，最后遛狗人的速度和狗的速度大小还是差不多的，不会因为遛狗个数越多就速度越快……

二、体现关联关系的模型

1.绳（杆）两端运动的关联：

实际运动时合运动，由伸缩运动与旋转运动合成。

实际运动二旋转运动+伸缩运动

【例】吊苹果逗小孩儿有两种逗法，一种是伸缩，一种是摆动。

不难总结：

一段不可伸长的细绳伸缩运动速度相等——沿绳（杆）速度相等，转速无论多大不可改变绳子长度。

2.叠加运动的关联

先举个例子：

如图的定滑轮，两边重物都在竖直运动，并且滑轮也在竖直运动，设两边重物位移分别沃为轮中心的位移为X。

不难由绳子长度不变得位移关系：

巨=1

2

对应的必然有速度关系：

匕+岭

加速度关系:

a+%

—-=a

我们用运动关联的目的是为了使未知量变少。

物理学中非常重要的思想就是把现实中的物体抽象成为理想的模型，然后用物理原理以及模型对应的牵连关系来解决问题.常见的模型有杆，绳，斜面，等等.

3.轻杆

杆两端，沿着杆方向的速度相同'

4.轻绳

绳子的两端也是沿着绳子的方向速度相同\.绳子中的力是可以突变的，突变的条件是剪断或者是突然绷紧等等.

5.斜面

斜面模型的一个关键点是当物体沿着斜面下滑的时候，它垂直于斜面方向上的速度和斜面相同.也就是两者之间只有沿着斜面的相对运动.

6.滚动

两个物体之间相对滚动，这意味着除了接触点的法向速度等于物体上这一点的法向速度以外，还有一个条件是接触点在两个物体上走过的距离相等，这也等价于两个物体在接触点的切向速度相等。

7.弹簧模型：

弹性绳子，和弹簧都是一样的，就是没有质量，长度可以在弹性范围内伸

展.另外弹簧的形变是不能瞬间突变的.也就是弹簧中的力是不能突变的.

这些模型之所以具有这些性质，主要原因是轻绳，轻杆，等长度不能改变.弹性的绳子和弹簧，长度可以改变.

【例1】一个绳子紧紧贴着天棚，有个动滑轮，绳子绕过之后挂一个小木块,

请求出当动滑轮以速度％匀速直线运动的时候，木块的速度是多少？

【例2】

【例3】一根绳紧贴与地面成e的斜墙，一端固定一端绕过滑轮下吊一木块。

滑轮沿％的速度匀速沿墙运动，求被滑轮带动的木块的速度力。

【答案】2/s-

【例4】如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，0点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的。

一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为帆和侬的小球。

论的速度为%时求例的速度“。

【答案】

【例5】如图夹角为d的斜面放在地面上只能在水平面运动，木棍被限制住只能在上下方向运动，斜面与木棍接触。

若斜面向右的速度为%,求木棍的速度正。

【答案】v0tan0

【例6】如图所示装置，在绳的C端以速率v匀速收绳，从而拉动低处的物体时

水平前进，当绳8c段与水平恰成a角时,求物体M的速度

V

1+cosa

【例7】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a的匀速运动.在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动（如图）.当半圆柱体的速度为u时，杆与半圆柱体接触点尸与柱心的连线与竖直方向的夹角为夕，求此时竖直杆运动的速度.

【解析】

解法一：

（半圆柱做参考系）

取半圆柱体作为参照系.在此参照系中，尸点做圆周运动，即a柱的方向沿着圆上尸点的切线方向.根据题意，逅地的方向是竖直向上的.因为

wf地=口柱地•tan0=vtan0.

解法二：

（法线方向速度l,相同）

法线方向上速度分别为vsin0,vHcos0

两个相同得到：

vsin0=v杆cos0

得到vlf=vtan^

【例8】图表示在一水平面上有A,B,C三点，AB=\,4CBA=a,今有甲质点由A向4以速度匕作匀速运动，同时，另一质点乙由3向。

以速度匕作匀速运动,试问运动过程中两质点间的最小距离为多少

」X

A

【解析】提示：

有两种解决办法，一个是直接求距离的表达式，一个是看相对运动状态.

【解析】如图所示，质点［以匕由A向4作匀速运动，同时点巴以速度.从8指向C作匀速运动，AB=l,ZABC=a且为锐角.试确定：

在何时刻I,6、P2的间距d最短为多少

以A为参考系，8沿图所示合速度方向运动，则dmm=/si”

而u=Jv；

+、+2匕匕cosa,

1,・cMsina/匕sina

付dmm=/smp==—=1..=•

vyjv；

+2VjV2cosa

由1cosJ3=vt,

l（\\+v2cosa）

vf+2vjV2cosa

八、sina一

+片+2VjV2cosa

【例9】

一只蜘蛛把一条长1m的“超弹性”丝线的一端固定在一堵竖直的墙上，丝线上某处静止地趴着一条小毛虫.饥饿的蜘蛛，静止不动地呆在丝线的另一端，开始以％=lcm/s的速度匀速拉动丝线.同时，小毛虫开始以1mm/s的速度相对于丝线向墙的方向逃跑,小毛虫能够逃到墙上吗

【解析】在距离墙xm处，丝线的速度显然比丝线端点的速度成正比地缩小,即%

———后—E

Imxm

如果这个值比小毛虫的速度快，那么毛虫逐渐远离墙面.小毛虫的处境将越来越无助，而永远也达不到墙面.反之，如果气虫＞外,小毛虫的净速度将指向墙面，并且随着时间的增加而增加，毛虫当然可以到达墙面.临界的情况对应x=k/%=0.1m.如果从这一点开始，则小毛虫相对静止于该处.

【例10】合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3：

2：

1,如图所示，顶点

A3以水平速度v运动，如果构件的所有角均为直角时，顶点A、A?

、

B2的速度为多少

v5vJV7v5’5‘6

【例11】细杆4?

长L,两端分别约束在x、V轴上运动,

（1）如果唯为已知，试求8点的速度;

⑵求杆上与A点相距〃的尸点的X、向分速度%和％对杆方位角夕的函数；

（3）试求Q点运动轨迹.

（1）两种解法：

解法一、沿着杆方向的速度相同

所以vAcos^=vBsin^得至|v-B=*sin8

也就是说以A为参照系则3的

解法二、以相对〃做一个圆周运动,运动垂直于AB.

⑵解法有讲究：

以A端为参照，则杆上各点只绕A转动.但鉴于杆子的实际运动情形如右图，应有%=%cos。

，

〃需，可知5端相对"

转动线速度为：

…*/

0点的线速度必为上次=/Isin。

所以%=%cose+%,%=%-4sine

（3）提示：

写成参数方程[、=?

se：

后消参数e.

[y=（1-a）Lcos6

（1）匕=%也sind

⑵'

%=G/tg8,%=。

一

（3）上+上==1,为椭圆的一部分；

（aLy（\-ayu

二、竞赛提升

通过刚才这些内容，大家已经体会到了一些速度矢量的分解的感觉。

从更物理的角度来讲，速度分解可以在图中画出三角关系来解决，也可以写出要投影的方向的单位矢量，然后与速度做点乘即可。

前者书写简单，后者不易出错，请大家自己斟酌。

运动的分解通常用于写约束条件，也就是我们前面所说的“模型特点”。

约束条件是指对运动加了限制，使得运动的自由度下降。

自由度是指用来描述物体运动的独立变量的个数。

（互相之间没有直接关系，叫做独立变量）

例如：

描述一个质点在一维空间中的自由运动需要1个函数（取笛卡尔坐标就是W））

描述一个质点在二维空间中的自由运动需要2个函数（取笛卡尔坐标就是;

取极坐标就是r（f）,8（f））

描述一个质点在三维空间中的自由运动需要3个函数（取笛卡尔坐标就是x（/）,yQ）,z（/）;

取柱坐标就是6。

）,z（r）,取球坐标就是"

f）,8（f）,夕⑺）

描述一根杆在三维空间中的自由运动需要5个函数（描述杆的质心需要三个函数，描述杆的方向还需要两个，取球坐标就是。

⑺，例/））

描述一根杆在二维空间中的自由运动需要3个函数（描述杆的质心需要两个函数，描述杆的方向还需要一个）

如果对于质点或者杆有限制，运动不再是自由的，这时称运动是受到约束的，运动的自由度通常会减小。

思考：

以下体系的自由度，说明描述运动所需要的独立变量个数：

10上的一个行走的人（把人当质点看）

2国旗杆上的国旗（把国旗当作质点）

3一端固定的刚性杆

4放在碗里的一个小汤圆（把汤圆当作质点）

5放在碗里的一根牙签（把牙签当作刚性杆）

6放在碗里的，一端固定在碗底的牙签

7表身固定的正常工作的手表

【例12】一个大硬币半径是力，一个小硬币半径是固定大硬币在纸面上，招1小硬币贴在大硬币外侧滚动一周，问小硬币自转了多少圈。

固定小硬币滚动大硬币一周，大硬币自转了多少圈

【解析】4圈,圈。

【例13】两只小环O和O分别套在静止不动的竖直杆和A0上.一根不可伸长的绳子，一端系在4,点上，绳子穿过环。

，另一端系在环。

上，如图所示，若环。

以恒定速度/沿杆向下运动，ZAOO=a.求环O的运动速度为多大

【解析】解法1由微元法求解

如右图所示，设由题图所示的状态再经历一段极短的时间A,环。

下滑距离而到达「点，环。

则对应地上升至C点.由于时间极短，位移很小，故可将这段时间内环O的位移速度也视为是匀速的，以U表

示之，则有oc=g和,由于绳不可伸长，故应有oc^cc=oo.

令OO与CC的交点为E,在OO上分别取ED^EC和ED=ECf则由上式有

O'

C=OO-CC=OO-DD,

于是有OC=O'

D'

+OD

由于a"

艮小，则OC很小，00与。

C的夹角很小，由此，两等腰AECD

和必。

。

的底角均很接近于二故"

£

＞和△=（2均可近似视为直角三2

角形，则在此两直角三角形中，有t/D=OCcosa,OD=OCcosa.

综合前述的几式便有O,C=OfCcosa+OCcosa,

vf^i=v^tcosa+vArcosa•

2sin?

u故得此时环。

沿杆上升的速度大小为、，=a组=二二/.

cosavcosa

解法2由相对运动求解

以地面为参照物时，环。

以速度/顺杆Ab向下滑，环O则在此刻以速度V顺杆他向上滑，以环O为参照物时，环。