函数极限理论的归纳与解题方法的总结综述Word格式文档下载.docx
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Keywords:
FunctionLimitMethod
引言
“函数”一词是微积分的创始人之一莱布尼兹(Leibniz)最先使用的,并且把
的函数记为
等,但是,直到19世纪初,人们还是把函数理解为“变量和常数组成的解析表达式”。
直到1834年,狄里克莱(Dirichlet)指出,函数
与变量
的关系不但不必用统一的法则在全区间上给出,而且不必用解析式给出。
至此,函数才被赋予了单值对应的意义。
在整个宇宙中,我们找不出不在运动变化的事物,但各个事物的变化,又绝非彼此孤立隔绝,而是相互联的,相互制约的。
“函数”无论在理论研究还是现实的科学探索,都发挥着举足轻重的作用,而极限问题可谓函数问题之重点,所以搞清函数极限的相关问题是尤为重要的。
一、基本概念与基本理论
(一)函数极限
1.函数正常极限与非正常极限定义共
个,它们的形式是:
为有限数)
可见函数正常极数定义共6个,非正常极数定义共18个,比数列正常极限定义1个、非正常极限定义3个(两者总共4个)多了20个定义,而此24个定义是整部数学分析的基础。
对它们的理解与记忆按下述程序进行:
先理解与记忆4个基本定义,再推及其它而总观24个定义。
(1)四个基本定义
定义1(
定义)设
是定义在
上的函数,
是一个确定的数,若
,
,当
时,有
,则称函数
当
时以
为极限,记作
,或
。
此时也称
为
在正无穷远处的极限。
注1此
定义,是数列极限
之
定义的推广,只需将
定义中之
换为
即可,这是由于,数列是以自然数集为定义域的函数,故
均为自然数集的成员,而函数
的定义域为实数集,因而改为
中之
来描述。
注2定义1是在正无穷远点处函数的极限,现将正无穷远点改为有限点
处,其函数极限即为下述定义2,即只要将正无穷远邻域的描述
改为
的空心邻域的描述
即可,因变量刻划相同。
定义2(双侧极限
定义)设函数
在点
的某个空心邻域
内有定义,
是一个确定的数。
若
,则称
趋于
问题1在
的定义中,为什么限定
(即
)?
如果把此条件去掉,写作“当
”是否可以?
[3]
答:
不可以,极限
的意义是:
当自变量
时,对应的函数值
无限接近常数
在
的情况,包括
是否有定义,有定义时,
等于什么都不影响
时,
的变化趋势,故应把
这一点排除在外。
如果把此条件去掉,把
的定义写作“
”,则当
时,也有
,由
的任意性,要使此不等式成立,必定有
,这个条件显然与
的变化趋势是不相干的。
定义3(单侧极限
[或
]内有定义,
,使当
(或
为右(左)极限,记作
(
或
)。
注3定义3中右极限(左极限),
定义在
的右侧,则
;
对于左极限,
的左侧,则
,于是定义2是关键,只要考虑到“单侧”这一特点。
定义4(无穷大量
定义)函数
的某个空心临域
内,若
时有非正常极限
,或称
时为无穷大量(或发散到无穷大),记作
(2)由自变量变化趋势刻划六种与因变量变化趋势刻划四种搭配成正常极限与非正常极限共24个定义的方法。
自变量变化趋势及其刻划六种:
因变量变化趋势及其刻划四种:
将自变量与因变量的变化趋势刻划互相搭配,而构成24种,每一种均按前述四个基本定义的标准叙述法叙述,即得24个定义。
2、正常极限性质(共48个或60个)
按华东师大教材,每一种类型极限有8个性质来计算,六种类型极限总共有48个性质。
再加上重要的“绝对值性”与“单调有界定理”,则共计60个性质。
前面是按照极限类型而言;
若按照性质类型而言,对照数列极限性质,函数极限性质总共8种(或10种):
存在性、唯一性、局部保号性、局部有界性等等,每一种,按六类极限形式又有六类形式,总计仍是48个或60个性质。
无论是48个还是60个性质,看似很多,实际上只要扣住前述自变量变化趋势刻划六种,再将数列极限相应性质移过来,这些性质均不难掌握了。
教材中是就极限类型
而给出8个性质,这里,再就极限
而给出。
极限
的性质:
(1)存在性——三个存在定理
I两边夹定理设
,均有
,且
,则
II柯西准则设函数
内有定义,则
存在
III单调有界函数定理设函数
内单调且有界,则
存在。
注4单调有界函数定理在有限点
处为:
若函数
在包含
的某一区间单调有界,则
的左、右极限必存在。
这里是左、右极限存在,但在
的极限不一定存在,这是与数列单调有界必收敛定理之区别。
(2)唯一性若
存在,则它只有一个极限。
(3)局部有界性若
存在,则
,在
内,
有界。
(4)局部保号性若
,则对任何
]。
(5)不等式性若
均存在,且
(6)四则运算法则若
均存在,则
[仅除法还要求
]在
时极限也存在,且有
(7)归结原则设函数
上有定义,则
对任何
,都有
,其中
为有限数。
推论设
均存在。
注5归结原则与数列情形之“数列极限与其子列极限关系定理”类似,均是在揭示整体与部分的关系这一意义上而言的。
(8)绝对值性若
3、无穷小量与无穷大量
(1)无穷小量若
,则称当
时
为无穷小量。
无穷小量的四则运算性质:
(i)两个无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。
(ii)无穷小量与有界变量之积为无穷小量。
(iii)两个无穷小量之商的极限为下述四种情形之一:
有限实数
不存在,此即无穷小量的阶的比较。
无穷小的阶的比较,是考察它们收敛于零的速度的快慢。
设
均为无穷小量,则
其中,当
时,又称
与
为等价无穷小(当
时),记作
为有限数,
为关于基本无穷小
的
阶无穷小,
通常为正有理数。
注6在应用极限运算的四则运算法则时,初学者会写出“
”等式子。
这是不对的。
出现这类“错误”的主要原因是将符号“
”误认为一个常数,对它施行了数的运算法则。
事实上,“
”不是一个常数,而是表示绝对值无限增大的变量,记号“
”表示两个绝对值无限增大的变量之差,仍是一个变量。
同样地,记号“
”表示两个绝对值无限增大的变量之商,仍是一个变量。
问题2下面的极限运算对吗?
结果正确,表达错误,这是因为
不存在,不能利用积的极限运算法则,则可以这样表达:
因为
,所以
问题3如果数列
收敛,数列
发散,那么数列
是否一定收敛?
如果数列
和
都发散,那么数列
的收敛性又怎样?
在两种题设情形下,数列
的收敛性都不能肯定,现分析如下:
情形1、数列
发散。
,则数列
必定发散,这是因为若数
收敛,且
,则由等式
及商的极限运算法则立即可知数列
收敛,与假设矛盾。
可能收敛,也可能发散。
例如,
(1)
,于是数列
收敛。
(2)
情形2数列
都发散。
若数列
中至少有一个是无穷大,则数列
必定发散。
这是因为若数列
收敛,而数列
为无穷大,从等式
便推得
,与假设矛盾。
都不是无穷大,则数列
可能收敛,例如,(3)
(4)
4、几个关系
(1)函数极限与数列极限的关系——归结原则
(2)单侧极限与极限的关系
均存在相等,均为
(3)无穷大量与无穷小量的关系(倒数)
(二)重要极限
前者为
型的未定式的极限,后两式为
型的未定式的极限。
问题4讨论函数极限时,在什么情况下要考虑左、右极限?
一般说来,讨论函数
点的极限,都应先看一看单侧极限的情形。
如果当
两侧的变化趋势一致,那么就不必分开研究;
如果
两侧的变化趋势可能有差别就应分别讨论记左、右极限。
例如,求分段函数在分段点处的极限时,必须研究左、右极限;
有些三角函数在特殊点的左、右极限不一样。
例如,
的左右极限不一样;
有些反三角函数、指数函数也有类似情形,例如,
处的左、右极限都不一样。
(三)函数的上极限与下极限
1、概念设函数
内有定义,则定义
其中
为有限数或
,特别当
内有界时,
均为有限数。
[1]
2、性质
(1)上极限性质
为有限数,则(I)
(II)
的每一个空心临域内,必有
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