相关与回归地理模型Word格式.docx

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常用的相关系数（r）

1 

/ 

10

顺序（等级）相关系数（rs）

（二）简单非线性相关程度的度量

由于曲线方向不固定,因此只研究相关程度而不研究相关方向。

表示简单非线性相关程度的统计量，通常用相关指数来度量，相

关指数的性质，随相关曲线形状的不同而不同。

相关指数的性质

小测验

（三）多要素相关与相关阵

多要素相关矩阵（R）

２.偏相关

由于地理系统是一种多要素系统,所以一个要素的变化就

要影响到其它要素的变化,因此它们之间存在着不同程度的相关关系。

当我们专研究某一个要素对另一个要素的影响或相关程度，

而把其它要素的影响视为常数（或保持不变），即除去其它要素的影响，

而单独研究那两个要素之间的相关关系不时，则你为偏相关。

偏相关系数可以由相关系数法来计算。

一级偏相关系数：

三个变量间的偏相关系数 

（共三个）

３.复相关

实际上,一个要素的变化往往受多种要素的综合影响,而用单相

关或偏相关分析的方法则不能反映各要素的综合影响,因此就需要用复

相关分析加以解决。

所谓复相关就是研究几个要素同时与某一个要素之间的相关

关系。

而度量复相关程度的指标，可用复相关系数来达到。

复相关系数又可利用单相关系数和偏相关系数求得。

其计算公式：

复相关系数的性质（Ry.123……k）

三、相关系数的显著性检验

对简单线性相关系数的显著性检验

对偏相关系数的显著性检验

求出 

t 

值后，再查 

分布表，可得出不同的显著水平的临界值 

tα。

对复相关系数的显著性检验

对复相关系数进行显著性检验，可用 

F 

检验：

2 

Ry.12……kn-k-1

F=（）

1- 

Ry.12……kk

式中，n 

为样本容量，k 

为自变量个数。

当我们研究地理相关时，计算出相关系数后，经显著性检验

证明其相关程度是显著的，就可以对要素间数量关系进一步作回归分

析。

第二节地理回归数学模型

一.地理回归分析的意义和作用

地理系统各要素间的相互关系,可通过大量的观测、试验或实验取

得一定的地理数据，然后用数理统计的方法，寻找出隐藏在随机性后

面的统计规律，而用回归方程来表示。

函数关系

相关分析

回归分析的主要内容

回归分析所研究的地理数学模型，依要素（变量）的多少可分为

一元地理回归模型和多元地理回归模型两种。

二.地理系统两要素间的回归分析与预测

地理系统两要素间的回归所处理的问题，是要解决两个要素（变

量）间的定量关系。

两个要素之间的数量关系，有的是非线性关系。

如何正确地分析与判断要素之间的关系是线性回归模型还是非线

性回归模型，在非线性回归模型中曲线又属于哪种类型？

因此，只有首先判定了回归方程的类型，然后才能正确地求出回

归模型的参数。

（一）一元地理回归模型类型的判断方法

图解法

若将地理要素（x,y）的数据点绘在普通方格纸上呈直线，则一元地

理回归模型为直线型。

若将地理要素（x,y）的数据点绘在双对数格纸上呈直线，则一元地

理回归模型为幂函数型。

若将地理要素（x,y）的数据点绘在单对数格纸上，其横坐标取对数

分格，其纵坐标为普通分格时呈直线，则一元地理回归模型为对数型。

3 

若将地理要素（x,y）的数据点绘在单对数格纸上，而其横坐标为普

通分格，其纵坐标取对数分格时呈直线，则一元地理回归模型为指数

型。

（二）线性关系的分析与预测

依上述方法已判定一元地理回归模型为直线型后,下一步就是要确

定线性回归方程：

y 

= 

a 

+ 

bx

中的两个参数 

和 

b。

上式代表 

x 

之间的最佳拟合直线，通常称为回归直线。

为常数，即 

的截距；

b 

为回归系数，也就是直线的斜率，它表示在 

变更一个单位则在

中变更 

个单位。

回归系数 

b

1.参数 

的最小二乘估计

2.模型建立方法与步骤

3.回归模型的效果检验

4.利用回归模型进行地理预测

（三）非线性关系的分析与预测

1.选配曲线的基本方法

2.常见地理模型建立方法

三.一元回归的 

SPSS 

软件应用

第三节多元回归地理模型的建立

一个地理系统,其结构特点具有多要素性，而且各要素间相互联系、

研究某一要素（y）与其它要素 

x1,x2,…,xn 

之间的定量关系，就需要

用地理分析中常用的分析方法，即多元回归分析方法加以解决。

多元回归分析（多输入多输出）可用数学模型表示：

y1,y2,…,ym 

=f（x1,x2,…,xn）

一般情况下，分别考察几个输入和一个输出之间的关系，即把上

述模型分解成:

y1=f1（x1,x2,…,xn）

4 

y2=f２（x1,x2,…,xn）

..

ym 

=fm（x1,x2,…,xn）

运用多元统计分析方法，建立地理要素间的数学模型，并检验数

学模型的效果，应用模型进行地理分析与预测，这就是与地理系统多

要素（多元）特性相对应的一种计量地理方法，即多元回归分析方法。

一、多要素地理系统

分析与预测的线性模型

1.模型的建立

假设地理系统要素 

和地理系统要素 

x1,x2,…,xn的内在联系是线

性的，或经过变量转换后的关系是线性的，则对于同一系统状态中的

不同区域或时间的要素间关系，可以写成下面的数据形式：

（xi1,xi2,yi）

i= 

1,2,……,m

i－区域或时间顺序号。

把它推广到有 

p 

个地理系统要素的情形，则为

（xi1,xi2,……,xip，yi）

这一组地理数据的形式是

β0 

β1x11 

β2x12……+βpx1p+ε1=y1

β1x21 

β2x22……+βpx2p+ε2=y2

β1xm1 

β2xm2……+βpxmp+εm=ym

这就是多要素地理系统分析与预测线性回归数学模型。

矩阵是多元的算术，是处理上述问题的有效工具,若用其表示,则地

理系统要素间的线性模型为:

X=

5 

Y=β=ε=

则上述地理系统要素间关系的线性模型可以表示为：

Xβ+ε=Y

2.模型的显著性检验

在多元线性回归问题中,同一元回归一样也需要对回归模型进行显

著性检验。

如果经过检验是显著的，则说明建立的回归模型是有用的，

否则就没有实际意义。

观测

值 

Y

的

波动

和

差异

为了从 

Y 

的总的变差中把它们区分开来，就需要对回归模型进行

方差分析，也就是将 

的总的离差平方和（Lyy）分解成两个部分，即回

归平方和（U）和剩余平方和（Q）

Lyy 

U 

Q

在多元回归分析中, 

回归平方和（U）表示的是所有 

K 

个自变量对 

的变差的总影响,因此,它可按以下公式计算:

U=∑（Y 

预测值-Y 

平均值）2=∑biLi

而剩余平方和（Q）则等于

Q 

∑（Y 

实际值-Y 

预测值）2=Lyy-U

由此可知,它与一个自变量的情况完全相似,即回归平方和越大,则剩

余平方和越小,线性关系越密切，回归的效果就越好,方程的预测精度越

高。

多元回归各平方和的自由度的确定原则

剩余平方和（Q）除以它的自由度，称为方差（均方），即：

S 

=

n-k-1

其剩余标准差则为 

S。

在多元线性回归问题上，对整个回归进行显著性检验时，通常用

检验法。

6 

U/kU

F==

Q/（n-k-1）k*S2

分布表的两个自由度

分别求出F 

分布表中三种不同显著性水平的值和与其对应的自由

度数。

检验的结果

二、非线性回归模型的建立方法

在地理系统中,除部分问题是属线性关系外，还有大部分属于非线

性关系。

因此，需要进一步研究多元非线性地理回归模型建立方法。

主要介绍两种多元非线性回归模型的建立方法。

两种多元非线性地理回归模型

的建立方法

在地理系统中,由于各要素间的关系十分复杂,有些回归曲线经过变

量变换后可化为直线处理，但也有些曲线不能化为直线处理。

如二次多项式就不能通过变量变换直线化，但它可视为二元线性

模型，然后按多元线性回归分析方法处理。

由此可以推广到包括多个要素（自变量）的任意多项式

b0+ 

b1x+ 

b2x2+ 

…+bkxk

也可以通过变量变换化为多元线性回归模型。

若令：

x1=x,x2=x2,…,xk=xk

则 

可化成

b1 

x1 

这种方法可处理相当一类非线性问题。

它在回归分析中占有重要地位。

主要是因为：

任何函数都可以在较小的区间内用多项式来逐步逼

近。

在分析某一要素与其它要素的定量关系时，可不问 

与 

的确切

关系，而直接用多项式回归进行分析计算，效果往往较好。

当多项式回归的自变量取两次幂时，便是二次多项式，即成抛物线，

其数学表达式：

b2x2

7 

x1=x,x2=x2 

则可化成

这可通过二元正规方程组的方法求出。

当多项式回归的自变量取三次幂时，便是三次多项式曲线，其数

学表达式：

b2x2 

b３x３

x1=x,x2=x2，x３=x３则可化成

2.幂函数乘积模型的建立方法

这种方法的基本思路是：

把某一要素 

与其它要素 

xi 

之间的函数关系写成

=f（x1,x2 

…,xn）

并把它们之间的函数关系看成是幂函数的连乘积形式，即：

kx1ax2b… 

xnm

式中，k,a,b,…,m 

是待定地理参数。

建立幂乘积模型的过程，也就

是确定参数的过程。

如建立四个要素 

x1,x2,x3,x4 

影响一个地理要素 

的幂函数乘积模型

时，可用相关分析法分别找出各要素间的相关程度，然后按相关系数

的大小，依次求出参数 

d,c,b,a,最后确定常数 

k。

四个要素幂函数乘积模型的建立步骤

四个要素幂函数乘积模型的建立步骤（续）

按上述方法所建立的模型有一缺点，即 

k 

值含有不同的因次，为

了解决这一问题,常常用无因次定律将以上公式改变成无因次的因素集