函数与方程思想Word文档下载推荐.docx

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又∵，∴，

例3对于R，不等式恒成立，求实数的范围.

观察不等式的结构特点，有些局部地方重复出现，不妨换元，使复杂的不等式问题变成熟知的一元二次不等式问题.

设，则原不等式①

∵R时，不等式恒成立，但当时，①式变为与条件R不符，∴.

当时，①式对R恒成立

，即.

本题使用换元法起到了沟通问题的条件和结论的中介作用，并使运算得以简化，令人耳目一新.

例4已知是不为的正数，，且有和，求证：

顺次成等比数列.

证明：

令，∴

∵，∴.

∴，.

∴，∵均不为0，

∴成等比数列.

换元沟通了已知与未知，起到了桥梁作用.

2．数形结合思想

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性，形象性，使问题化难为易，化抽象为具体.通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题.

例5已知N，，，，求和.

题目中出现、、、、多种集合，就应想到利用文氏图解决问题.

第一步：

求全集N

第二步：

将，，中的元素在图中依次定位.

第三步：

将元素4、7定位.

第四步：

根据图中的元素位置得，.

例6对一切实数，若恒成立，求实数的取值范围。

充分考虑绝对值的几何意义，从距离关系上分析的几何意义.

根据绝对值的几何意义，可看作点到点的距离，可看作点到的距离.

（如图）

由于，

因此线段上每一点到、的距离和都等于7.

当点在线段延长线上或在延长线上时，一定有

即数轴上任一点到、的距离之和都大于或等于7.

∴要使恒成立，必有≤7.

数形结合是数学中的一种基本思维方法，要养成从数、形两个方面去思考问题的习惯，这对高中数学的学习是极为有益的.

例7解关于的不等式.

此题中，虽然不等式两边均为非负的，但是我们不宜采用两边平方的方法，因为如果两边平方就转化为解一个关于的一元四次不等式，对解题能力的要求很高，用分类讨论的思想，则因为讨论情况较多而显得非常复杂，而且容易出错.如果我们采用含绝对值不等式的性质

“”则可化为求四个一元二次不等式的解集，同样也非常烦琐.而如果我们能巧妙地运用数形结合的思想，此题就可迎刃而解。

设，，在直角坐标系中作出这两个函数的图象（如图），从图象中可知满足原不等式的解集为函数的图象在函数的图象的下方部分的点的横坐标，即A、B两点横坐标之间和C、D两点横坐标之间的部分，求出A、B、C、D四点的横坐标分别为、、、，所以原不等式的解集为.

利用函数的图象不仅可以直观地讨论函数的性质，而且可以解决与函数有关的问题，如它在解不等式、方程中的应用显然体现的是一种创新意识，同时也体会到了数学的简明性，这正如庞加莱所说的“数学的优美感，不过是问题的解答适合我们的心灵需要而产生的一种满足感”.

例8当时，恒成立，求的取值范围.

由已知条件，可作出如下图形，不难得出.要使恒成立，只需即可.

由图形可知，，∵当时，恒成立,

∴

∴,又∵，

以“形”代算，技巧性很强，通过图形的直观显现，答案直接跃然纸上.

3．转化与化归思想

所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.

转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法.数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；

函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；

分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.各种变换法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.所以说转化与化归是数学思想方法的灵魂.

例9对任意的，函数恒负，则的取值范围为.

本题如果以为主元，给解题带来了很大的难度，而如果以为主元，就为解题找到了一个新的突破口.对任意的，有恒成立，等价于时，恒成立.

设，则有

即.

解得.

当一个题中有多少个变量时，要敢于把其中的一个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，逐步减少参数使问题获得解决.

例10已知，且，求使方程有解的的取值范围.

原方程有解等价于：

由得

当时，由知无解，故原方程无解.

当时，的解是，

把代入得，

即.

可解得或

综上可知，当在内取值时，原方程有解.

对于含参数的指数方程与对数方程，在求解时，注意把原方程等价地转化成某个混合组，并注意在等价转化的原则下化简求解.

例11设，其中R，如果当时，有意义，求的取值范围.

当时，有意义，故对一切恒成立.

两边同除以，得，.

令，，≥，.

因为有意义的充要条件是二次方程在内无实根，即

解得，即的取值范围为

对某些问题，巧妙地进行变量代换，经适当整理后可使问题转化为关于某变量　的方程形式，此时用方程的思想方法来解，就会达到事半功倍的效果.

4．函数与方程思想

函数思想指运用函数的概念和性质，通过类比、联想、转化、合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题和解决问题.方程思想是通过对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，将问题化归为方程的问题，利用方程的性质、定理，实现问题与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的.

例12已知不等式的解集为，求不等式的解.

考虑利用同解不等式求解

由，　　　　　　　　　　　　　　①

　　　　　　　　　　　　　　　　②

∵，由②得　　　　　③

考虑　　　　　　　　　　　④

换元后与①同解，即

而③与④的不等号相反，又

∴③的解为或

即或

∴不等式的解集为或

一元二次不等式的“解在两边”可判断出，不等式与变号后的不等式同解，但应注意选择“在两边”还是“在中间”，应以后者“小于”为准.解得的根含参数时，应注意讨论两个根的大小.

例13等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为

A．30B．170C．210D．260

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前项和公式都可以看成的函数，也可以看成方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成为的一次函数（公差时），而其求和公式可以看成是的二次函数.因此，许多数列问题可以用函数与方程的思想进行分析，加以解决.根据与满足函数关系式：

求解

∵为等差数列，∴设，∴，

得，，

例14已知等差数列，首项，且，问此数列前几项的和最大？

最大值是多少？

由题意得

∴当或时，为最大.

例15对任意函数，，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据，经数列发生器输出；

②若，则数列发生器结束工作；

若，则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去，再定义.

（1）若输入，则由数列发生器产生数列，请写出数列的所有项；

（2）若要数列发生器产生一个无穷常数数列，试求输入的初始数据的值；

（3）若输入时，产生无穷数列满足：

对任意正整数，均有，求的取值范围.

（1）∵的定义域，

∴数列只有三项：

，，.

（2）∵，即

∴或

即当或2时，，

故当时，；

当时，N*）

（3）解不等式，∴

得或，

要使，则或，

对于函数，

若，则，不符合题意

当时，且，

依次类推，可得数列的所有项均满足：

N*）

综上所述，时，由，得.

本题立意新颖，与生活、科技很贴近，富有时代气息.对于所用数学知识，考生都很熟悉，运算量也不大，但一定要注意和实际问题紧密结合，不能孤立地一味完成数学计算，必须依据实际条件的约束，来检验运算结果.

5．分类讨论思想

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”

例16设全集1≤N，求满足与的补集的交集为的所有集合的个数.

（1）求1≤N，因，则中必有1，3，5，7而无8.

（2）要求得所有集合个数，就是要求的个数.的个数由中的元素确定，分以下四种情况讨论：

①中有4个元素，即

②中有5个元素，中有元素2，或4，或6，有3个

③中有6个元素，即从2和4，2和6，4和6三组数中任选一组放入中，有3个.

④中7个元素，即

综上所有集合，即共有8个.

有关求集合的个数和参数的范围的问题.常需对集合中元素进行分类讨论.

例17解不等式.

首先找出零点，划分区间，利用零点分段讨论法，去掉绝对值符号.

把原不等式变为，

令，得；

令，得.

这样1，2的对应点把数轴分成了三个部分，如图所示.

（1）当≤1时，≤0，＜0

∴原不等式变为，

由，得；

（2）当1＜≤2时，，≤0

∴原不等式变为，即

（3）当时，，

∴原不等式变为，即.

由，得.

综上，原不等式解集为或.

零点分段法去绝对值符号是解决有关绝对值问题的基本方法.

数…分别使含…的代数式中相应的一个绝对值为零，称…为相应绝对值的零点，零点…将数轴分成段，在每一段上，…都有确定的正负号，利用绝对值定义，可以化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式.

例18已知函数，若，求函数的最大值.

此类问题采用“定”区间，“动”轴法，即不论给出的区间是已知，还是含参数未知的，可让其相对“静止”，然后根据对称轴在区间左侧、中间、右侧三种情况进行讨论.因此，本题中对称轴与区间的位置关系是解题的关键，所以应根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.

，对称轴为.

（1）当≤，即≥时，在上单调递减，

（2）当，即时，

（3）当≥，即≤时，在上单调递增.

综上，

由于函数解析式中含有字母参数，因此应根据对称轴与区间的相对位置关系分类讨论.

例19设，求使为负值的的取值范围.

∵，

∴由对数函数的性质，知

即

①两边除以，得

②解得或（舍去）

③给两边取以为底的对数，但需分，，三种情况讨论.

当，即时，；

当，即时，R；

当，即时，.

本题从对数函数