中考数学复习几何压轴题.doc
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中考数学复习几何压轴题
1.在△ABC中,点D在AC上,点E在BC上,且DE∥AB,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△(使<180°),连接、,设直线与AC交于点O.
(1)如图①,当AC=BC时,:
的值为;
(2)如图②,当AC=5,BC=4时,求:
的值;
(3)在
(2)的条件下,若∠ACB=60°,且E为BC的中点,求△OAB面积的最小值.
图①图②
答案:
1;……………………………………………………………………………………………1分
(2)解:
∵DE∥AB,∴△CDE∽△CAB.∴.
由旋转图形的性质得,,∴.
∵,∴即.
∴∽.∴.……………………………………………………4分
(3)解:
作BM⊥AC于点M,则BM=BC·sin60°=2.
∵E为BC中点,∴CE=BC=2.
△CDE旋转时,点在以点C为圆心、CE长为半径的圆上运动.
∵CO随着的增大而增大,
∴当与⊙C相切时,即=90°时最大,则CO最大.
∴此时=30°,=BC=2=CE.
∴点在AC上,即点与点O重合.∴CO==2.
又∵CO最大时,AO最小,且AO=AC-CO=3.
∴.………………………………………………………………8分
2.点A、B、C在同一直线上,在直线AC的同侧作和,连接AF,CE.取AF、CE的中点M、N,连接BM,BN,MN.
(1)若和是等腰直角三角形,且(如图1),则是 三角形.
(2)在和中,若BA=BE,BC=BF,且,(如图2),则是 三角形,且.
(3)若将
(2)中的绕点B旋转一定角度,(如同3),其他条件不变,那么
(2)中的结论是否成立?
若成立,给出你的证明;若不成立,写出正确的结论并给出证明.
答案:
(1)等腰直角………1分
(2)等腰………2分………3分
(3)结论仍然成立………4分
证明:
在
∴△ABF≌△EBC.∴AF=CE.∠AFB=∠ECB.……5分
∵M,N分别是AF、CE的中点,∴FM=CN.∴△MFB≌△NCB.
∴BM=BN.∠MBF=∠NBC.……6分
∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=.……7分
3.图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片和叠放在一起(与重合).
(1)固定△,将△绕点顺时针旋转得到△,连结(如图2).此时线段与有怎样的数量关系?
并证明你的结论;
(2)设图2中的延长线交于,并将图2中的△在线段上沿着方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△设为△(如图3).设△移动(点在线段上)的时间为x秒,若△与△重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
图1图2图3图4
(3)若固定图1中的△,将△沿方向平移,使顶点C落在的中点处,再以点为中心顺时针旋转一定角度,设,边交于点M,边交于点N(如图4).此时线段的值是否随的变化而变化?
如果没有变化,请你求出的值;如果有变化,请你说明理由.
答案:
(1).………………………………………………………………1分
证明:
如图2,∵△与△都是等边三角形,△绕点顺时针旋转30°得到△,
∴△也是等边三角形,且,
∴,.…………………………………2分
∴,∴,∴.∴△≌△,
∴.……………………………………3分
(2)如图3,设分别与交于点.
∵△CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移x秒,
平移后的△为△,.
由
(1)可知,,
..
.在中,,.
.…………………………………………………………4分
过点作于点.
在中,,
.
.……………………………………5分
,.
当点与点重合时,,∵,∴.
∴此函数自变量x的取值范围是.…………………………………………6分
(3)的值不变.……………………………………………………7分
证明:
如图4,由题意知,,∴,
在中,,∴.
又∵,
∴△∽△,∴.
∵点是的中点,,∴,
∴,∴.…………………………………………………8分
4.以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM与DE的位置及数量关系.
(1)如图①当为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,
线段AM与DE的数量关系是;
(2)将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
答案:
(1),
(2)结论仍然成立。
证明:
如图,延长CA至F,使FA=AC,FA交DE于点P,并连结.
,.
在与中:
(SAS).BF=DE,.
..
又CA=AF,CM=MB,
AM//FB且AM=FB,,AM=DE.
5.
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD.求证:
EF=BE+FD;
(2)如图2在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
不用证明.
(3)如图25-3在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
答案:
(1)证明:
延长EB到G,使BG=DF,联结AG.
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°,AB=AD,∴△ABG≌△ADF.
∴AG=AF,∠1=∠2.--------------------1分
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD.
∴∠GAE=∠EAF.又AE=AE,∴△AEG≌△AEF.
∴EG=EF.-----------------2分
∵EG=BE+BG.∴EF=BE+FD--------3分
(2)
(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.---------------------------4分
(3)结论EF=BE+FD不成立,应当是EF=BE-FD.--------------------5分
证明:
在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,∴∠B=∠ADF.
∵AB=AD,∴△ABG≌△ADF.∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD.
∴∠GAE=∠EAF.
∵AE=AE,∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF---------------------6分
∵EG=BE-BG,∴EF=BE-FD.---------------------7分
6.
(1)如图1,四边形中,,,,请你猜想线段、之和与线段的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图2,四边形中,,,若点为四边形内一点,且,请你猜想线段、、之和与线段的数量关系,并证明你的结论.
图2
图1
答案:
(1)如图1,延长至,使.
可证明是等边三角形.……………………………………………1分
联结,可证明≌.……………………………………………2分
图1
图2
故.……………………………………………3分
(2)如图2,在四边形外侧作正三角形,
可证明≌,得.…………………………………………4分
∵四边形符合
(1)中条件,∴.………………………5分
联结,
ⅰ)若满足题中条件的点在上,则.∴.
∴.……………………………………………6分
ⅱ)若满足题中条件的点不在上,
∵,∴.
∴.……………………………………………7分
综上,.……………………………………………8分
A
O
图10
E
B
G
x
C
y
E′
如图10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2=17,且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.
(1)求C点的坐标;
(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E三点的抛物线的解析式,并画出此抛物线的草图;
(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?
若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.
解:
(1)∵线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根,
∴ 又 ∵OA2+OB2=17,
∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.(3)
∴把
(1)
(2)代入(3),得m2-4(m-3)=17.
∴m2-4m-5=0., 解得m=-1或m=5.
又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.
∴当m=5时,得方程x2-5x+4=0.
解之,得x=1或x=4.
∵BC>AC, ∴OB>OA.
∴OA=1,OB=4.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,
∴OC2=OA·OB=1×4=4.
∴OC=2, ∴ C(0,2).
(2)∵OA=1,OB=4,C、E两点关于x轴对称,
∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).
设经过A、B、E三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则
∴所求抛物线解析式为
(3)存在.∵点E是抛物线与圆的交点,
∴Rt△ACB≌△AEB.
∴E(0,-2)符合条件.
∵圆心的坐标(,0)在抛物线的对称轴上,
∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.
∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意.
∴可求得E′(3,-2).
∴抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2)。
如图8,PA切⊙O于点A,PBC交⊙O于点B、C,若PB、PC的长是关于x的方程的两根,且BC=4,求:
(1)m的值;
(2)PA的长;
A
B
C
P
·
O
图8
A
B
C
P
·
O
图8
解:
由题意知:
(1)PB+PC=8,BC=PC-PB=2
∴PB=2,PC=6
∴PB·PC=(m+2)=12
∴m=10
(2)∴PA2=PB·PC=12
∴PA=
已知双曲线和直线相交于点A(,)和点B(,),且,求的值.
24.(10分)一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C,已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处,在B处测得
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