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q3在P点的场强大小为
则P点的合成电场强度为
EEiE2E3
iii
oi2、3exX2
4ori2
80
q2
40D2
120
q3
40「32
40
iey
8.2
,方向为
E3
qi
i2.3ez
i2.3
2-3直接利用式(2-2-14)
计算电偶极子的电场强度。
解令点电荷q位于坐标原点,r为点电荷q至场点P
的距离。
再令点电荷q位于+z坐标轴上,匚为点电荷q
至场点P的距离。
两个点电荷相距为I,场点P的坐标为
(r,
根据叠加原理,电偶极子在场点
P产生的电场为
考虑至Ur>
>
I,
e「i=er,
22
rir
2~2~er
rri
qrrL
Icos
(ri
,那么上式变为
r)(rir)e
22er
式中
1
rl2rlcos2
2—cos
2
在零点作泰勒展
以-为变量,并将1身2-cos
rrr
开。
由于Ir,略去高阶项后,得
1I
「1
1cos
rr
cos
利用球坐标系中的散度计算公式,
求出电场强度为
Icosr
qlcos
2or3
er
qlsin
4or
e0
2-4已知真空中两个点电荷的电量均为2106C,相距为
2cm,如习题图2-4所示。
试求:
①P点的电位;
②将
电量为2106C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时,
习题图2-4
解根据叠加原理,P点的合成电位为
6
2.510V
因此,将电量为2106C的点电荷由无限远处缓慢地移到
P点,外力必须做的功为Wq5J
2-5通过电位计算有限长线电荷
的电场强度。
解建立圆柱坐标系。
令先电荷沿z轴放置,由于结构以z轴对称,场强与无关。
为了简单起见,令场点位于yz平面。
设线电荷的长度为L,密度为
i,线电荷的中点位于坐标原
点,场点P的坐标为r,,z。
利用电位叠加原理,求得场点
P的电位为
习题图2-5
£
d
L—
2r0
In
I
z
In-
L
Lz—
因E,可知电场强度的z分量为
Ez
式中r0zI2r2。
故
4o
]L
z2
2r
L2
1zL
L22
1r
l
zL22
sin
i.sin2
电场强度的r
分量为
Er
1in
4or
IL2
.z—r
Y2
zL22r2
L2zL22r2
zL22r2
L2zL22r2
zL2,zL2
V1
r\r
zL22zL2rr
or
tan21
1tan1
」1
式中1arctan—-
tan2
COS
1COs2
arctan—,
z—
cos2
0,
2or
tan22
那么,合成电强为
cos1
则合成电场强度为
可见,这些结果与教材2-2节例4完全相同。
2-6已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度
0sin,0,试求圆心处的电场强度。
x
解建立直角坐标,令线电荷位于xy平面,且以y轴为对称,如习题图2-6所示。
那么,点电荷d在圆心处产生的电场强度具有两个分量E<和Ey。
由于电荷分布以y轴为对称,因此,仅需考虑电场强度的Ey分量,即
idl
dEdEy2sin
4oa
考虑到d|ad,
为
i0sin,代入上式求得合成电场强度
E
eysindey
y04oa8oay
2-7已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为i,试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。
习题图2-7
ia
2o、a2z2
因电场强度
,则圆环线电荷在P点产生的电
解建立直角坐标,令圆环位于坐标原点,如习题图2-7
所示。
那么,点电荷|dl在z轴上P点产生的电位为
idl
根据叠加原理,圆环线电荷在P点产生的合成电位为
l2a
dl1dl
4or0
场强度为
ez
iaz
笃。
a2八
2-8设宽度为
W面密度为s的带状电荷位于真空中,
试求空间任一点的电场强度
(a)(b)
习题图2-8
解建立直角坐标,且令带状电荷位于xz平面内,如习
题图2-8所示。
带状电荷可划分为很多条宽度为dx的无
限长线电荷,其线密度为sdx。
那么,该无限长线电荷
产生的电场强度与坐标变量
z无关,即
dE
sdx
e
X
ey
xeyy
sdx
eyy
dx
那么
w
y
x—
exIn
ey-arctan
20y
—
wx—
arctan—
2-9已知均匀分布的带电圆盘半径为a,面电荷密度为S,位于z=0平面,且盘心与原点重合,试求圆盘
轴线上任一点电场强度E
习题图2-9
解如图2-9所示,在圆盘上取一半径为r,宽度为dr的圆环,该圆环具有的电荷量为dq2rdrs。
由于对称性,该圆环电荷在z轴上任一点P产生的电场强度仅的r有z分量。
根据习题2-7结果,获知该圆环电荷在P
dEzrsdr
dEz32
20r2z23
整个圆盘电荷在P产生的电场强度为
产生的电场强度的z分量为
s
azrdr
02232zr
—z2—a2
2-10已知电荷密度为S及
的两块无限大面电荷分
别位于x=0及x=1平面,试求x1,0
域中的电场强度。
解无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的,其电
场方向垂直于无限大平面,且分别指向两侧。
因此,位于x=0平面内的无限大面电荷S,在x<
0区域中产
生的电场强度E1exE1,在x>
0区域中产生的电场强
度E1exE1。
位于x=1平面内的无限大面电荷S,在
x<
1区域中产生的电场强度E2exE2,在x>
1区域中产生的电场强度E2exE2。
由电场强度法向边界条件获知,
01
即0E1
oE1sx00E20E2sx0
0E1sx00E20E2sx1
由此求得
E1
E2
已
exE1
exE2
0,x0
exE1
s,0x1
0,x1
各区域中的电场强度应为
根据叠加定理,
2-11若在球坐标系中,电荷分布函数为
0,106
试求0ra,ar
b区域中的电通密度D。
解作一个半径为
r的球面为高斯面,由对称性可知
DFer
式中q为闭合面S包围的电荷。
因此,
2-12
a区域中,
b区域中,
qdv
v
由于q=0,因此D=0。
闭合面S包围的电荷量为
106-r3a3
33
ra
D2er
3r2
106
b区域中,闭合面S包围的电荷量为
qvdv106彳八a3
633
r10baD2er
若带电球的内外区域中的电场强度为
2>
qr
试求球内外各点的电位。
解在ra区域中,电位为
rEdrEdrEdr—a2r2—
rra2aa
在ra区域中,rEdrq
r-
2-13已知圆球坐标系中空间电场分布函数为
r,ra
Eera5
—,rar
试求空间的电荷密度
解利用高斯定理的微分形式
E—,得知在球坐标
系中
rE丄
2,
rdr
那么,在ra区域中电荷密度为
1d
r0~2~~
a区域中电荷密度为
r0~~T~
rdr
r2Er
2-14
已知真空中的电荷分布函数为
r2,0ra
(r)
0,ra
r为球坐标系中的半径,试求空间各点的电场强度。
解由于电荷分布具有球对称性,取球面为高斯面,那么
根据高斯定理
在0ra区域中
r22
45
rdv
4rr
dr
—r
5
14
51r
er2
r4r25
05
在ra区域中
2r2dr
4r25
a5-
5a
2-15已知空间电场强度E3ex4ey5ez,试求(0,0,0)
与(1,1,2)两点间的电位差。
解设R点的坐标为(0,0,0,),P2点的坐标为(1,1,2,),
那么,两点间的电位差为
V
P2
P
dl
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