届江苏省南京十校上学期高三联合调研数学试题文档格式.docx
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3.根据如图所示的伪代码,则输出的值为______.
【答案】10
模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的,的值,直到不满足条件跳出循环,输出I的值即可.
模拟程序的运行,可得,.
满足条件,执行循环体,,;
不满足条件,退出循环,输出的值为10.
10.
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的,的值是解题的关键,属于基础题.
4.某校高一、高二、高三年级的学生人数比为,为调查该校学生每天用于课外阅读的时间,现按照分层抽样的方法取若干人,若抽取的高一年级人数为45人,则抽取的样本容量为______.
某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3:
3:
2,为调查该校学生每天用于课外阅读的时间,现按照分层抽样的方法取若干人,设样本容量为.
∵抽取的高一年级人数为45人
∴.
故答案为;
120.
本题考查样本容量的求法,考查分层抽样的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
5.函数f(x)=的定义域为____________.
由题意得,解得,
所以函数的定义域为.
已知函数的解析式求函数的定义域时,可根据解析式的特征得到关于自变量的不等式(组),解不等式(组)后可得函数的定义域.
6.甲、乙两人依次从标有数字1,2,3的三张卡片中各抽取一张(不放回),则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为______.
甲、乙两人依次从标有数字1,2,3的三张卡片中各抽取一张(不放回),基本事件总数,两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数,则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为.
本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
7.在平面直角坐标亲中,若双曲线(,)的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为______.
由已知可知离心率,,即.
∵双曲线的焦点在轴上
∴该双曲线的渐近线方程为,即.
.
本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查.
8.已知函数,若函数()是偶函数,则______.
∵函数
∴函数
∵函数()是偶函数
∴,
∵
∴当时,.
本题考查的知识要点:
三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.
9.已知数列是首项为1,公差为正数的等差数列,其前n项和为,若,,成等比数列,则______.
设等差数列的公差为,.
∵,,成等比数列
∴,即.
∴
145.
本题考查等差数列的通项公式和求和公式,等比数列的中项性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
10.某种圆柱形的如罐的容积为个立方单位,当它的底面半径和高的比值为______.时,可使得所用材料最省.
设圆柱的高为,底面半径为.
∵该圆柱形的如罐的容积为个立方单位
∴该圆柱形的表面积为.
令,则.
令,得;
令,得.
∴在上单调递减,在上单调递增.
∴当时,取得最小值,即材料最省,此时.
本题考查函数的应用,解答本题的关键是写出表面积的表示式,再利用导数求函数的最值,属中档题.
11.在平面直角坐标系中,已知直线l:
,点,动点P满足.若P点到直线l的距离恒小于8,则实数m的取值范围______.
设.
∵,动点满足
∴在以为圆心,以5为半径的圆上
∵点到直线:
的距离恒小于8
∴,解得.
本题考查轨迹方程的求法,考查直线与圆位置关系的应用,考查计算能力,是中档题.
12.如图,在中,,,,E为的中点,与交于点F,G为的中点.______.
根据,设
∵F,E,B三点共线
∴设
∴,解得
∴,,
∵,,
本题考查了向量数乘的几何意义,向量减法的几何意义,向量数量积的运算,考查了计算和推理能力,属于中档题.
13.已知,,且,则的最大值为______.
∵,,且
∴,当且仅当时取等号.
令,原不等式转化为,解得.
本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:
一正是,首先要判断参数是否为正;
二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);
三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).
14.已知偶函数满足,且当时,,关于的不等式在区间上有且仅有400个整数解,则实数的取值范围______.
∵满足
∴函数关于直线对称
∵函数为偶函数
∴周期为8,则在区间上有个周期
∵在上有且仅有400个整数解
∴在有且仅有4个整数解
当时,,则.
∴令,则,在上单调递增;
令,则,在上单调递减,其中.
做出函数在区间上的图象如图所示:
∵,,在上有4个整数解,则在上有4个整数解.
本题考查函数性质的运用及导数在解决函数问题中的应用,考查数形结合思想及转化能力,属于较难题目.
二、解答题
15.已知分别为三个内角A、B、C的对边,且
(1)若,,求边c的长;
(2)若,求的值
【答案】
(1);
(2)
(1)由正切值可得,进而可求得与,再由余弦定理即可求得边的值;
(2)根据,求得,进而求得,从而可求出的值.
(1)在中,由可知,由解得
由余弦定理,得,即,解得.
(2)由且,得.
又,则,则.
所以,所以
所以.
考查余弦定理及两角差的正弦公式,给出一个角的三角函数值,求其他三角函数值,属于简单题.
16.如图,在斜三棱柱中,已知为正三角形,D,E分别是,的中点,平面平面,.
(1)求证:
平面;
(2)求证:
平面.
(1)见解析;
(2)见解析
(1)根据,分别是,的中点,即可证明,从而可证平面;
(2)先根据为正三角形,且D是的中点,证出,再根据平面平面,得到平面,从而得到,结合,即可得证.
(1)∵,分别是,的中点
∵平面,平面
∴平面.
(2)∵为正三角形,且D是的中点
∵平面平面,且平面平面,平面
∴平面
∵平面
∵且
∵,平面,且
本题考查直线与平面平行的判定,面面垂直的性质等,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,中档题.
17.如图,已知椭圆()的焦点到相应准线的距离为3,离心率为,过右焦点F作两条互相垂直的弦、,设,的中点分别为M、N.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若弦,的斜率均存在,且和的面积分别为,,试求当最大时的方程.
(2)或
(1)直接根据椭圆的几何性质得到,的值;
(2)设出直线的方程与椭圆方程联立,求出的面的表达式,同理求出的面积不等式,从而可求出,利用基本不等式即可求其最大值,从而得解.
(1)由题意:
,,则,,,所以椭圆的方程为.
(2)由题意可得.
∵,斜率均存在,设直线方程为:
(),,,则.
∴由得.
∴,,则.
∴同理可得
∵,当且仅当即时取等号
∴当时,最大,此时直线的方程为或.
本题考查椭圆的几何性质,椭圆方程,直线与椭圆的位置关系,三角形的面积的最值等,考查函数最值,重要不等式,属于难题.
18.如图,某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形,其中:
,,,长1千米,长千米,公园内有一个形状是扇形的天然湖泊,扇形以长为半径,弧为湖岸,其余部分为滩地,B,D点是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道:
线段线段弧,其中Q在线段上(异于线段端点),与弧相切于P点(异于弧端点]根据市场行情,段的建造费用是每千米10万元,湖岸段弧的建造费用是每千米万元(步行道的宽度不计),设为弧度观光步行道的建造费用为万元.
(1)求步行道的建造费用关于的函数关系式,并求其走义域;
(2)当为何值时,步行道的建造费用最低?
(1),定义域:
;
(2)当时,步行道的建造费用最低.
(1)以为坐标原点,以所在直线为轴建立平面直角坐标系,可得所在圆的方程为,可得,从而求得所在直线方程,与所在直线方程联立求得坐标,即可得到与,再由弧长公式求的长,再根据与相切于点(异于弧端点)与,即可求得函数关系式与其定义域;
(2)令,利用导数求使步行道的建造费用最低时的值.
(1)以为坐标原点,以所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示:
则所在圆的方程为,,,直线:
∵直线的方程为
所以,,弧长,
所以,化简得.
∵与相切于点(异于弧端点),
∴定义域:
(2)令,求导得,令,
(舍去),,,
极小值
所以当时,最小,即w最小,当时,步行道的建造费用最低.
本题考查根据实际问题选择函数模型,考查直线与圆位置关系的应用,利用导数求最值,是中档题.
19.已知函数,,.
(1)求函数的单调增区间;
(2)令,且函数有三个彼此不相等的零点0,m,n,其中.
①若,求函数在处的切线方程;
②若对,恒成立,求实数t的去取值范围.
(1)单调增区间是,;
(2)①,②或
(1)先求得函数,对函数求导,令大于零,解不等式即可求得单调增区间;
(2)易知,,①求出,的值,进而求得切线方程;
②由对,恒成立,可得,分与两种情况讨论,从而可求得的取值范围.
(1)∵,
∴,令,得或.
∴的单调增区间是,.
(2)由方程,得m,n是方程的两实根,故,,且由判别式得.
①若,得,,故,得,
因此,故函数在处的切线方程为.
②若对任意的,都有成立,所以.
因为,,所以或.
当时,对有,所以,解得.又因为,得,则有;
当时,,则存在的极大值点,且.
由题意得,将代入得进而得到,得.
又因为,得.
综上可知t的取值范围是或.
本题考查利用导数研究函数的单调性,极值及最值,考查导数的几何意义,考查运算求解能力及分类讨论思想,属于中档题.本题覆盖面广,对考生计算能力要求较高,是一道难题,解答本题,准确求导数是基础,恰当分类讨论是关键,易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当,或因复杂式子变形能力差,而错漏百出,本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.
20.已知等差数列的前n项和,且满足,,数列是首项为2,公比为q()的等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设正整数k,t,r成等差数列,且,若,求实数q的最大值;
(3)若数列满足,,其前n项和为,当时,是否存在正整数m,使得恰好是数列中的项?
若存在,求岀m的值;
若不存在,说明理由.
(
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- 江苏省 南京 上学 三联 调研 数学试题
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