中考圆与四边形综合题.doc

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中考圆与四边形难题解析

◆考点分析

特殊四边形主要包括梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等，中考中有关考题大多以容易题或中档题为主，因此更多体现了对基础知识的考查。

近年的中考题中也出现了一些探究题、折痕问题、图形变换问题等新题型。

圆是初中几何的重要学习内容，它具有很多主要性质，知识的前后联系密切，能考查学生综合应用数学知识的能力，是历年中考的重点。

主要包括以下几种类型：

圆的有关性质的考查，以基础题为主；圆与三角形的有关知识（全等、相似等）相联系的题型，此类试题要求通过圆的有关性质得出两个三角形对应角相等或对应边相等或成比例，进而证明三角形全等或相似；考查与圆有关的位置关系的掌握情况，这类问题考查的重点是相切关系的性质和判定，试题常由课本习题改编而成，解答时需要合理联想课本习题原型；圆与函数和方程相联系，这类题需综合函数、方程、几何的相关知识，融计算、证明于一体，具有较强的综合性；圆与特殊四边形相联系这类题主要是计算弧长、扇形面积、阴影部分面积等。

◆典型例题

图2.2-1

例1（2007芜湖）已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长．

【解题分析】

本题有机的将等边三角形、正方形、圆融合在一道题中.

解法一．如图2.1-1，将正方形BDEC上的等边△ABC向下平移得等边△ODE，其底边与DE重合．得出OD=OA=OE即可。

图2.2-2

解法二．如图2，作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．

设⊙O的半径为r，可得方程．

解得ｒ＝2．

∴该圆的半径长为2.

【每题一得】利用等边三角形、正方形、圆的轴对称性是解决问题的关键。

图2.2-3

【同类变式】（2007芜湖）如图2.2-3，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q．求正方形的边长AB．

例2（韶关市2007）如图2.2-4，四边形ABCD中，AD不平行BC，现给出三个条件：

①∠CAB=∠DBA，②AC=BD，③AD=BC.请你从上述三个条件中选择两个条件，使得加上这两个条件后能够推出ABCD是等腰梯形，并加以证明.（只需证明一种情况）

【解题分析】第一种选择：

①∠CAB=∠DBA，②AC=BD.可以得出ABCD是等腰梯形；第二种选择：

②AC=BD，③AD=BC.也可以得出ABCD是等腰梯形，如图2.2-4；第三种选择①∠CAB=∠DBA，③AD=BC不能推出ABCD是等腰梯形，反例见图2.2-5：

图2.2-5

D

C

B

A

B

图2.2-4

D

C

B

A

图2.2-4

【同类变式】（2007厦门）已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.现给出四个条件：

①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA.请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论.

D

C

A

B

G

H

F

E

图2.2-6

⑴写出一个真命题，并证明；

⑵写出一个假命题，并举出一个反例说明.

例3（2007台州）把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图2.2-6）．试问线段与线段相等吗？

请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

D

C

A

B

G

H

F

E

图2.2-7

【解题分析】．解法1：

如图2.2-6，连结，证；解法2：

如图2.2-7，连结，证．

【每题一得】图形的折叠、旋转、平移等相关的考题越来越多地出现在各地的考题中，关注图形的变换规律的探究是值得关注的考试动向。

【同类变式】（2007扬州）如图2.2-8，正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，边与交于点．

G

D

O

C

F

E

B

A

图2.2-8

（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；

（2）若正方形的边长为，重叠部分（四边形）的面积为，求旋转的角度．

例4（2007天津）如图2.2-8，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F。

⑴求证：

；

⑵如果将图①中的直线BC向上平移与圆O相交得图②，或向下平移得图③，此时，是否仍成立？

若成立，请证明，若不成立，说明理由。

图2.2-8

图2.2-9

图2.2-10

【解题分析】解：

（1）如图2.2-8，连接DE，连接DF证～，～，分别得到，。

（2）两种情况下仍然通过证明相似可知结论依然成立.

【每题一得】与圆有关的运动变化探究性题型体现了很强的综合性，同时也渗透着数形结合、分类、运动变化等诸多的数学思想方法，并且在实际生活中也有着广泛的应用，所以综合运用所学知识解答以圆为背景的试题也是近年来各地中考的热点题型。

【同类变式】（2007潍坊）如图2.2-11，线段过圆心，交圆于两点，切圆于点，作，垂足为，连结．

（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；

（2）若图1中的切线变为图2.2-12中割线的情形，与圆交于两点，与交于点，，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；

（3）在图2.2-12中，证明：

AD·AB=AC·AE．

图2.2-12

图2.2-11

A

E

C

B

D

G

H

F

图2.2-13

◆当堂反馈

图2.2-14

1．（2007临沂）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是。

2．（2007重庆）已知，如图2.2-14：

AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。

给出以下五个结论：

①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE＝BC。

其中正确结论的序号是。

3．（2007资阳）如图2.2-15，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.

（1）求证：

BP=DP；

（2）如图2.2-16，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？

若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

图2.2-16

图2.2-15

（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论.

图2.2-17

4．（2007福州）如图8，已知：

内接于，点在的延长线上，，．

（1）求证：

是的切线；

（2）若，求的长．

◆配套练习

一、选择题

1．（2007东营）如图2，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（　　）

A．　B．　　C． D．８　　

2．（2007金华）国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（）

A．红花、绿花种植面积一定相等；B．紫花、橙花种植面积一定相等

C．红花、蓝花种植面积一定相等；D．蓝花、黄花种植面积一定相等

3．（2007内江）如图2.2-20，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中为，长为8cm，长为12cm，则阴影部分的面积为（）

A． ；B．；C．；D．

图2.2-19

A

C

O

B

图2.2-20

图2.2-18

二、填空题

4．（2007成都）如图2.2-21，把一张矩形纸片沿折叠后，点分别落在的位置上，交于点．已知，那么．

5．（2007成都）如图2.2-22，已知是⊙O的直径，弦，，，那么的值是．

图2.2-21

6．（2007济宁）如图2.2-23，从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB，A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°，则图中阴影部分的面积为。

图2.2-23

图2.2-22

7．（2007枣庄）如图2.2-24，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．

图2.2-24

（1）请写出五个不同类型的正确结论；

（2）若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．

8．（2007河池）如图2.2-25，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为弧BC上的一动点．⑴问添加一个什么条件后，能使得？

请说明理由；

⑵若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？

请说明理由；

图2.2-26

B

A

O

C

E

·

图2.2-25

D

⑶如图2.2-26，在⑴和⑵的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？

证明你的结论．

9．（2007常州）如图2.2-27，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．

图2.2-27

⑴设菱形相邻两个内角的度数分别为m2和n2，将菱形的“接近度”定义为|m－n|，于是，|m－n|越小，菱形越接近于正方形．

①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于；

②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形．

⑵设矩形相邻两条边长分别是a和b（），将矩形的“接近度”定义为|a－b|，于是|a－b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？

若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．

10．（2007南充）如图2.2-28是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面l上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的⊙A构成．点B、C分别是两个半圆的圆心，⊙A分别与两个半圆相切于点E、F，BC长为8米．求EF的长．

A

E

F

l

B

C

图2.2-28

答案:

【典型例题】

例1解:

方法一．如图1，将正方形BDEC上的等边△ABC向下平移得等边△ODE，其底边与DE重合．

图1

∵A、B、C的对应点是O、D、E．

∴OD=AB，OE=AC，AO=BD．

∵等边△ABC和正方形BDEC的边长都是2，

∴AB=BD=AC=2．

∴OD=OA=OE=2．

∵A、D、E三点不在同一直线上，

∴A、D、E三点确定一圆，

图2

∵O到A、D、E三点的距离相等，

∴O点为圆心，OA为半径．

∴该圆的半径长为2．

方法二．如图2，作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．

∵△ABC为等边三角形，

∴AF垂直平分BC，

∵四边形BDEC为正方形，

∴AH垂直平分正方形的边DE．

又DE是圆的弦，∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．

在Rt△ABF中，∵∠BAF=，

∴．

∴OH==ｒ．

在Rt△ODH中，．

∴．解得ｒ＝2．

∴该圆的半径长为2．

【同类变式】6

例2第一种选择：

①∠CAB=∠DBA，②AC=BD.

证明：

∵∠CAB=∠DBA，AC=BD，AB=BA

∴△ACB≌△BDA

∴AD=BC，∠ABC